FYUGP GU BA 1st Sem MDC "Foundations of Mathematical Sciences - I" Chapter 1 সংখ্যা, বিভাজন এলগৰিদম, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা, মৌলিক সংখ্যাৰ পৰীক্ষা (Numbers, Division algorithm, Divisibility test, Test of prime numbers) Solution | BA 1st Sem MDC Foundations of Mathematical Sciences - I Chapter 1 সংখ্যা, বিভাজন এলগৰিদম, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা, মৌলিক সংখ্যাৰ পৰীক্ষা (Numbers, Division algorithm, Divisibility test, Test of prime numbers) Question Answer

Unit I

সংখ্যা, বিভাজন এলগৰিদম, বিভাজ্যতাৰ পৰীক্ষা

১. অতি চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Very Short Questions & Answers - 1 Mark Each)

১. এন্টিলগাৰিথম (Antilogarithm) বুলিলে কি বুজা?

উত্তৰ: এন্টিলগাৰিথম হ’ল লগাৰিথমিক ক্ৰিয়াৰ বিপৰীত ফল; অৰ্থাৎ যদি $\log_b(x)=y$ হয়, তেন্তে $antilog_b(y)=x$।

২. কি চৰ্তত এটা সংখ্যা ৪ ৰে সম্পূৰ্ণৰূপে বিভাজ্য হয়?

উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ শেষৰ দুটা অংকে গঠন কৰা সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হ’লে সমগ্ৰ সংখ্যাটো ৪ ৰে বিভাজ্য হয়।

৩. দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীৰ (Decimal System) ভূমি বা বেছ (Base) কিমান?

উত্তৰ: ১০ (দহ)।

৪. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাটো (Prime Number) কি?

উত্তৰ: ২ (দুই)।

৫. সূচকৰ নিয়ম অনুসৰি $(a^m)^n$ ৰ মান কি হ'ব?

উত্তৰ: $a^{m\times n}$।

৬. স্বাভাৱিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) বেছ (Base) কি ব্যৱহাৰ কৰা হয়?

উত্তৰ: ইৰাস্যনেল ধ্ৰুৱক $e$, যাৰ মান প্ৰায় ২.৭১৮।

৭. ৩ ৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষাৰ মূল নিয়মটো কি?

উত্তৰ: সংখ্যাটোৰ সকলো অংকৰ যোগফল ৩ ৰে বিভাজ্য হ’লে সংখ্যাটো ৩ ৰে বিভাজ্য হয়।

৮. বাইনাৰী বা দ্বৈত সংখ্যা প্ৰণালীত (Binary Number System) ব্যৱহৃত মৌলিক অংক দুটা কি কি?

উত্তৰ: ০ আৰু ১।

৯. $\log_a(1)$ ৰ মান কিমান?

উত্তৰ: ০ (শূন্য)।

১০. বিভাজন এলগৰিদম (Division Algorithm) অনুসৰি যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ সম্পৰ্কটো কি?

উত্তৰ: $a=bq+r$, য’ত $0\leq r<b$; ইয়াত $q$ ভাগফল আৰু $r$ ভাগশেষ।

১১. কোনো সংখ্যা $p$ মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰিবলৈ আমি কিমানলৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাৰে ভাগ কৰি চাব লাগে?-v

উত্তৰ: $\sqrt p$ লৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাসমূহৰে ভাগ কৰি চাব লাগে।

১২. লগাৰিথমৰ গুণফলৰ সূত্ৰ অনুসৰি $\log_b(m\cdot n)$ ক কিদৰে লিখা হয়?

উত্তৰ: $\log_b(m)+\log_b(n)$।

১৩. যিকোনো অশূন্য সংখ্যা $a$ ৰ বাবে $a^0$ ৰ মান কিমান?

উত্তৰ: ১ (এক)।

১৪. বাইনাৰী সংখ্যা $(101)_2$ ৰ দশমিক মান (Decimal Value) কিমান?

উত্তৰ: ৫ (পাঁচ)।

১৫. সূচকীয় ৰূপ $b^y=x$ ক লগাৰিথমিক ৰূপত কেনেকৈ প্ৰকাশ কৰা হয়?

উত্তৰ: $\log_b(x)=y$।

২. চমু প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Short Answer Questions - 2 Marks Each)

প্ৰশ্ন ১: ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা (Euclid's Division Lemma) কি?

উত্তৰ: যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা $a$ আৰু $b$ ৰ বাবে এনে অখণ্ড সংখ্যা $q$ আৰু $r$ পোৱা যায় যাতে

$$a=bq+r,\quad 0\leq r<b$$

হয়। ইয়াত $a$ ভাজ্য, $b$ ভাজক, $q$ ভাগফল আৰু $r$ ভাগশেষ।

প্ৰশ্ন ২: ৯ আৰু ১১ ৰে বিভাজ্যতাৰ নিয়ম দুটা বৰ্ণনা কৰা।

উত্তৰ:
(১) ৯ ৰে বিভাজ্যতা: সংখ্যাটোৰ সকলো অংকৰ যোগফল ৯ ৰে বিভাজ্য হ’লে সংখ্যাটো ৯ ৰে বিভাজ্য হয়।
(২) ১১ ৰে বিভাজ্যতা: যুগ্ম আৰু অযুগ্ম স্থানৰ অংকসমূহৰ যোগফলৰ পাৰ্থক্য ০ বা ১১ ৰ গুণিতক হ’লে সংখ্যাটো ১১ ৰে বিভাজ্য হয়।

প্ৰশ্ন ৩: এটা সংখ্যা N মৌলিক হয় নে নহয় কিদৰে পৰীক্ষা কৰিবা?

উত্তৰ: প্ৰথমে $\sqrt N$ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে। তাৰ পিছত $\sqrt N$ তকৈ সৰু বা সমান মৌলিক সংখ্যাবোৰে $N$ ক ভাগ কৰি চাব লাগে। যদি কোনো মৌলিক সংখ্যাৰে $N$ নিঃশেষে বিভাজ্য নহয়, তেন্তে $N$ মৌলিক সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ৪: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী আৰু বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীৰ মুখ্য পাৰ্থক্য লিখা।

উত্তৰ: দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীৰ Base ১০ আৰু ইয়াত ০ ৰ পৰা ৯ লৈ মুঠ ১০টা অংক ব্যৱহাৰ হয়। বাইনাৰী প্ৰণালীৰ Base ২ আৰু ইয়াত কেৱল ০ আৰু ১ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। দশমিক প্ৰণালী সাধাৰণ গণনাত আৰু বাইনাৰী প্ৰণালী কম্পিউটাৰ ব্যৱস্থাত অধিক ব্যৱহৃত হয়।

প্ৰশ্ন ৫: দশমিক সংখ্যা (25)10 ক বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।

উত্তৰ: ২৫ ক ২ ৰে ভাগ কৰি ভাগশেষসমূহ পাওঁ—

25 ÷ 2 = 12, ভাগশেষ 1
12 ÷ 2 = 6, ভাগশেষ 0
6 ÷ 2 = 3, ভাগশেষ 0
3 ÷ 2 = 1, ভাগশেষ 1
1 ÷ 2 = 0, ভাগশেষ 1

ভাগশেষবোৰ তলৰ পৰা ওপৰলৈ পঢ়িলে—

$$(25)_{10}=(11001)_2$$

প্ৰশ্ন ৬: বাইনাৰী সংখ্যা (1101)2 ক দশমিক সংখ্যা প্ৰণালীলৈ ৰূপান্তৰ কৰা।

উত্তৰ:

$$(1101)_2 =1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0$$ $$=8+4+0+1=13$$

সেয়েহে,

$$(1101)_2=(13)_{10}$$

প্ৰশ্ন ৭: সূচকৰ মৌলিক সূত্ৰসমূহ (am • an আৰু am / an) প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰ: একে ভিত্তি থকা সূচকৰ ক্ষেত্ৰত—

(১) গুণৰ নিয়ম:

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

(২) ভাগৰ নিয়ম:

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

অৰ্থাৎ গুণৰ সময়ত সূচক যোগ আৰু ভাগৰ সময়ত সূচক বিয়োগ হয়।

প্ৰশ্ন ৮: লগাৰিথমৰ ভূমি পৰিৱৰ্তনৰ সূত্ৰটো (Change of Base Formula) লিখা।

উত্তৰ: লগাৰিথমৰ ভূমি সলনি কৰিবলৈ তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰা হয়—

$$\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}$$

ইয়াৰ সহায়ত এটা ভিত্তিৰ লগাৰিথমক আন এটা সুবিধাজনক ভিত্তিলৈ পৰিৱৰ্তন কৰিব পাৰি।

প্ৰশ্ন ৯: লগাৰিথমিক ভাগফল সূত্ৰ logb(m/n) = logb(m) - logb(n) প্ৰমাণ কৰা।

উত্তৰ: ধৰা হ’ল,

$$\log_b m=x,\qquad \log_b n=y$$

তেন্তে,

$$m=b^x,\qquad n=b^y$$

গতিকে,

$$\frac{m}{n}=\frac{b^x}{b^y}=b^{x-y}$$

সেয়েহে,

$$\log_b\left(\frac mn\right)=x-y$$

অৰ্থাৎ,

$$\boxed{\log_b\left(\frac mn\right)=\log_bm-\log_bn}$$

প্ৰমাণিত।

প্ৰশ্ন ১০: এন্টিলগাৰিথম কি? এটা উদাহৰণৰ সহায়ত বুজাই লিখা।

উত্তৰ: লগাৰিথমৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়াক এন্টিলগাৰিথম বোলে। যদি

$$\log_{10}x=y$$

তেন্তে,

$$\operatorname{antilog}_{10}(y)=x$$

উদাহৰণস্বৰূপে,

$$\log_{10}(100)=2$$

সেয়েহে,

$$\operatorname{antilog}_{10}(2)=100$$

প্ৰশ্ন ১১: সূচকৰ ঋণাত্মক মান a-n = 1 / an কিয় হয় ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰ: সূচকৰ ভাগফলৰ নিয়ম অনুসৰি,

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

ইয়াত $m=0$ ল’লে,

$$\frac{a^0}{a^n}=a^{-n}$$

আকৌ $a^0=1$, সেয়েহে,

$$\boxed{a^{-n}=\frac1{a^n}}$$

অৰ্থাৎ ঋণাত্মক সূচকে প্ৰতিলোম ৰাশি বুজায়।

প্ৰশ্ন ১২: সাধারণ লগাৰিথম (Common Logarithm) আৰু প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমৰ (Natural Logarithm) পাৰ্থক্য কি?

উত্তৰ: সাধাৰণ লগাৰিথমৰ ভিত্তি ১০। ইয়াক $\log_{10}x$ হিচাপে প্ৰকাশ কৰা হয়। আনহাতে, প্ৰাকৃতিক লগাৰিথমৰ ভিত্তি $e$, যাৰ মান প্ৰায় ২.৭১৮২৮। ইয়াক $\ln x$ হিচাপে লিখা হয়। সাধাৰণ লগাৰিথম সাধাৰণ গণনাত আৰু প্ৰাকৃতিক লগাৰিথম উচ্চ গণিত আৰু কলনগণিতত ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

প্ৰশ্ন ১৩: মান নিৰূপণ কৰা: log2(32)।

উত্তৰ: ধৰা হ’ল,

$$\log_2 32=x$$

তেন্তে,

$$2^x=32$$

যিহেতু $32=2^5$, গতিকে $x=5$।

সেয়েহে,

$$\boxed{\log_2(32)=5}$$

প্ৰশ্ন ১৪: ১০০০ ক ১০ ৰ সূচক হিচাপে আৰু লগাৰিথমীয় ৰূপত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰ: ১০০০ ক ১০ ৰ সূচক হিচাপে—

$$1000=10^3$$

ইয়াৰ লগাৰিথমীয় ৰূপ—

$$\log_{10}(1000)=3$$

প্ৰশ্ন ১৫: সূচকৰ ঘাটাংক সূত্ৰ logb(mp) = p logb(m) চমুকৈ ব্যাখ্যা কৰা।

উত্তৰ: লগাৰিথমৰ ঘাতৰ নিয়ম অনুসৰি কোনো সংখ্যাৰ ওপৰত ঘাত থাকিলে সেই ঘাতটো লগাৰিথমৰ সন্মুখত গুণক হিচাপে আহে।

অৰ্থাৎ,

$$\boxed{\log_b(m^p)=p\log_b(m)}$$

উদাহৰণস্বৰূপে,

$$\log_2(8^2)=2\log_2(8)$$

এই নিয়মৰ সহায়ত জটিল লগাৰিথমিক প্ৰকাশ সহজে সমাধান কৰিব পাৰি।

৩. দীঘল প্ৰশ্ন-উত্তৰ (Long Answer Questions - 5 Marks Each)

প্ৰশ্ন ১: বিভাজন এলগৰিদম আলোচনা কৰা আৰু ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.গু. (HCF) নিৰ্ণয় কৰাৰ পদ্ধতি পদ্ধতিগতভাৱে উদাহৰণসহ বুজাই লিখা।

উত্তৰ: বিভাজন এলগৰিদমৰ মতে, যিকোনো দুটা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা a আৰু b-ৰ বাবে, য’ত a > b, এনে দুটা অনন্য অখণ্ড সংখ্যা q আৰু r পোৱা যায় যাতে—

a = bq + r, য’ত 0 ≤ r < b।

গ.সা.গু. নিৰ্ণয় কৰিবলৈ ইউক্লিডৰ এলগৰিদম ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ইয়াত ডাঙৰ সংখ্যাটোক সৰু সংখ্যাৰে ভাগ কৰি ভাগশেষ উলিওৱা হয়। তাৰ পিছত আগৰ ভাজকক ভাগশেষেৰে ভাগ কৰা হয়। এইদৰে ভাগশেষ ০ নোহোৱালৈকে প্ৰক্ৰিয়াটো চলি থাকে। শেষৰ অশূন্য ভাগশেষটোৱেই গ.সা.গু.।

উদাহৰণ: ৮৬৭ আৰু ২৫৫ ৰ HCF নিৰ্ণয়—

867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0

শেষৰ অশূন্য ভাগশেষ = ৫১।

সেয়েহে, HCF(867, 255) = 51।

প্ৰশ্ন ২: সংখ্যা প্ৰণালী (দশমিক আৰু বাইনাৰী) ৰ ধাৰণা সৱিস্তাৰে ব্যাখ্যা কৰা। ভগ্নাংশযুক্ত দশমিক সংখ্যা (27.625)10 ক বাইনাৰী সংখ্যালে ৰূপান্তৰ কৰাৰ পদ্ধতি দেখুওৱা।

উত্তৰ: সংখ্যা প্ৰকাশ আৰু গণনা কৰাৰ নিয়ম বা পদ্ধতিক সংখ্যা প্ৰণালী বোলে। দশমিক আৰু বাইনাৰী হৈছে ইয়াৰ দুটা গুৰুত্বপূৰ্ণ প্ৰণালী।

(১) দশমিক সংখ্যা প্ৰণালী: ইয়াৰ ভিত্তি ১০। ইয়াত ০ ৰ পৰা ৯ লৈ মুঠ ১০টা অংক ব্যৱহাৰ কৰা হয়।

(২) বাইনাৰী সংখ্যা প্ৰণালী: ইয়াৰ ভিত্তি ২। ইয়াত কেৱল ০ আৰু ১ এই দুটা অংক ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কম্পিউটাৰ আৰু ডিজিটেল যন্ত্ৰত ইয়াৰ ব্যাপক ব্যৱহাৰ হয়।

(27.625)₁₀ ক বাইনাৰীলৈ ৰূপান্তৰ—

অখণ্ড অংশ ২৭:

27 ÷ 2 = 13, ভাগশেষ 1
13 ÷ 2 = 6, ভাগশেষ 1
6 ÷ 2 = 3, ভাগশেষ 0
3 ÷ 2 = 1, ভাগশেষ 1
1 ÷ 2 = 0, ভাগশেষ 1

তলৰ পৰা ওপৰলৈ পঢ়িলে, (27)₁₀ = (11011)₂।

ভগ্নাংশ অংশ 0.625:

0.625 × 2 = 1.250 → 1
0.250 × 2 = 0.500 → 0
0.500 × 2 = 1.000 → 1

সেয়েহে, (0.625)₁₀ = (0.101)₂।

অতএব,

(27.625)₁₀ = (11011.101)₂।

প্ৰশ্ন ৩: লগাৰিথমৰ আটাইকেইটা মূল ধৰ্ম আৰু নিয়ম প্ৰমাণসহ বৰ্ণনা কৰা।

উত্তৰ: লগাৰিথম সূচকৰ বিপৰীত ক্ৰিয়া। যদি bʸ = x, য’ত b > 0, b ≠ 1 আৰু x > 0, তেন্তে—

log_b x = y।

লগাৰিথমৰ মুখ্য নিয়মসমূহ হ’ল—

১. গুণফলৰ নিয়ম:

log_b(mn) = log_b m + log_b n

প্ৰমাণ: ধৰা হওক, log_b m = x আৰু log_b n = y। তেন্তে m = bˣ আৰু n = bʸ।

সেয়ে, mn = bˣ × bʸ = bˣ⁺ʸ।

অতএব, log_b(mn) = x + y = log_b m + log_b n।

২. ভাগফলৰ নিয়ম:

log_b(m/n) = log_b m − log_b n

কাৰণ,

m/n = bˣ/bʸ = bˣ⁻ʸ।

সেয়ে, log_b(m/n) = x − y।

৩. ঘাতৰ নিয়ম:

log_b(mᵖ) = p log_b m

৪. বিশেষ নিয়ম:

log_b 1 = 0

কাৰণ b⁰ = 1।

log_b b = 1

কাৰণ b¹ = b।

এইবোৰেই লগাৰিথমৰ প্ৰধান মৌলিক নিয়ম।

প্ৰশ্ন ৪: মৌলিক সংখ্যা চিনাক্তকৰণ পদ্ধতি বিস্তাৰিতভাৱে বুজাই লিখা। ৩৭৭ সংখ্যাটো মৌলিক নে যৌগিক পৰীক্ষা কৰি সিদ্ধান্ত দিয়া।

উত্তৰ: কোনো সংখ্যা মৌলিক নে যৌগিক নিৰ্ণয় কৰিবলৈ সেই সংখ্যাৰ বৰ্গমূললৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাবোৰেৰে বিভাজ্যতা পৰীক্ষা কৰিব লাগে।

পদ্ধতিটো হ’ল—

১. প্ৰথমে √N উলিয়াব লাগে।
২. √N লৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাবোৰ ল’ব লাগে।
৩. এই মৌলিক সংখ্যাবোৰেৰে N ভাগ কৰিব লাগে।
৪. যদি কোনো এটাৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য হয়, তেন্তে সংখ্যাটো যৌগিক।
৫. কোনো এটাৰে বিভাজ্য নহ’লে সংখ্যাটো মৌলিক।

৩৭৭ ৰ ক্ষেত্ৰত,

√377 ≈ 19.41

সেয়ে ১৯ লৈকে থকা মৌলিক সংখ্যাবোৰ হ’ল— ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ আৰু ১৯।

এতিয়া,

377 ÷ 13 = 29

অৰ্থাৎ ৩৭৭, ১৩ ৰে সম্পূৰ্ণভাৱে বিভাজ্য।

সেয়েহে ৩৭৭ এটা যৌগিক সংখ্যা।

প্ৰশ্ন ৫: সূচকৰ ধাৰণা আৰু ইয়াৰ মৌলিক নিয়মসমূহ বৰ্ণনা কৰা। তলৰ ৰাশিটো সৰল কৰা: (2n+4 - 2 • 2n) / (2 • 2n+3)

উত্তৰ: কোনো সংখ্যাক একেটা সংখ্যাৰে বাৰে বাৰে গুণ কৰাৰ সংক্ষিপ্ত প্ৰকাশক সূচক বোলে। যেনে, a × a × a = a³।

সূচকৰ কেইটামান মৌলিক নিয়ম হ’ল—

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

a⁰ = 1

দিয়া ৰাশি,

(2ⁿ⁺⁴ − 2 × 2ⁿ) / (2 × 2ⁿ⁺³)

লব,

2ⁿ⁺⁴ − 2 × 2ⁿ
= 2ⁿ × 2⁴ − 2ⁿ × 2
= 2ⁿ(16 − 2)
= 14 × 2ⁿ

হৰ,

2 × 2ⁿ⁺³
= 2ⁿ⁺⁴
= 16 × 2ⁿ

সেয়ে,

(14 × 2ⁿ)/(16 × 2ⁿ)

= 14/16

= 7/8

অতএব, সৰল ৰূপ = 7/8।

*****