অধ্যন 6
ত্ৰিভুজ আৰু ইয়াৰ ধৰ্ম
যষ্ট শ্ৰেণীত তোমালোকে পাই আকিছা যে কেৱল ৰেখাখণ্ডৰে গঠিত এটা সামতলিক সৰল বন্ধ চিত্ৰক বহুভোজ বোলা হয়।ৰেখাণ্ডবোৰক বহুভুজটোৰ বাহু বোলা হয়।বহুভুজ এটাৰ বাহুৰ সংখ্যা তিনি হলে ইয়াক আমি ত্ৰিভুজ বোলোঁ। ত্ৰিভুজৰ বাহু তিনিটাৰ দুটা দুটাকৈ লগ লাগি একোটা বিন্দুত কোণৰ সৃষ্টি কৰিছে। এনে বিন্দুবোৰক ত্ৰিভুজটোৰ শীৰ্ষ বিন্দু বোলা হয়। গতিকে এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিটা বাহু, তিনিটা কোণ আৰু তিনিটা শাৰ্ষবিন্দু থাকে।
পুৰণি লেটিন ভাষাৰ শব্দ ‘Triangulum’ ৰ পৰা Triangle শব্দৰ উৎপত্তি হৈছে। খ্ৰীষ্টিয় দ্বিতীয় শতিকাৰ জ্যোতিৰ্বিদ টলেমিয়ে আৱিস্কাৰ কৰা 48 টা নক্ষত্ৰপুঞ্জৰ ভিতৰত এটাৰ নাম হল ‘Triangulum. ইয়াত থকা তিনিটা উজ্জ্বল নক্ষত্ৰই ত্ৰিভুজ আকৃতিৰ সৃষ্টি হব।
|
কাষৰ চিত্ৰত ABC এিভুজৰ
AB, BC আৰু CA তিনিডাল বাহু
<ABC, <BCA, <ACB তিনিটা কোণ
A, Bআৰু C তিনিটা শীৰ্ষ বিন্দু
এিভুজ সম্পৰ্কে সম্যক ধাৰণা পাবলৈ ইয়াক দুটা ভাগত ভাগ কৰা হয়-
6.2বাহু হিচাপে এিবুজৰ প্ৰকাৰ:
!) বিষমবাহু এিভুজ (Scalene Triangle): এটা এিভুজৰ তিনিওটা বাহুৰ জোক বেলেগন বেলেগ হলে এিভুজটোক বিষমবাহু এিভুজ বোলা হয়।
!!) সমদ্ধিবাহু এিভুজ (isosceles Triangle): এটা এিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহু পৰস্পৰ সমান হলে এিভুজটোক সমদ্ধিবাহু এিভুজ বোলা হয়।
!!!) সমবাহু এিভুজ (Equilateral Triangle):এিভুজ এটাৰ বাহু তিনিডালৰ মাপ পৰস্পৰ সমান হলে ইয়াক সমবাহু এিভুজ বোলা হয়।
6.3 কোণ হিচাপে এিভুজৰ প্ৰকাৰ:
!) সুক্ষ্মকোণ এিভুজ (Acute-angled Triangle): যি এিভুজৰ তিনিওফালে কোণেই সূক্ষ্মকোম অৰ্থাৎ প্ৰতিটো কোণেই সমকোণতকৈ সৰু তাকেই সূক্ষ্মকোণ এিভুজ বোলা হয়।
!!) সমকোণী এিভুজ (Right angled Triangle): যি এিভুজৰ এটা কোণ সমকোণ অৰ্থাৎ 900 সেই এিভুজক সমকোমী এিভুজ বোলা হয়।
!!!) স্হলকোণী এিভুজ (Right angle Triangle): যি এিভুজৰ এটা কোণ স্হলকোণ অৰ্থাৎ সমকোণতকৈ ডাঙৰ কিন্ত্ত সৰল কোণতকৈ সৰু তাকেই স্হলকোণী এিভুজ বোলা হয়।
কাৰ্য: চিএ 6.4 ৰ এিভুজবোৰক বাহু আৰু কোম হিচাপে শ্ৰেণীভুক্ত কৰা-
6.4 এিভজ মধ্যমা (Medians of a Triangle):
এিবুজৰ এটা শীৰ্ষবিন্দু আৰু তাৰ বিপৰীতে বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰোকাখাণ্ডই মধ্যমা।
চিন্তা লকৰি কোৱা- এটা এিভুজৰ মধ্যমা কেইডাল থাকিব পাৰে?
হাতে কামে কৰা-
এখন কাগজত এটা এিভুজ আঁকি কেঁচীৰে ইয়াক কাটি উলিওৱা। যিকোনো এটা বাহুৰ মূৰ বিন্দু দুটা একেলগ কৰি কাগজখন ভাঁজ কৰা। ভাঁজটো বাহুটোৰ মধ্যবিন্দুৰে নাযাবনে? এতিয়া, বাহুটোৰ মধ্যবিন্দু আৰু তৃতীয় শীৰ্ষবিন্দুৰে যোৱাকৈ এিভুজটো আকৌ ভাঁজ কৰা। এই ভাঁজটোৱেই এটা মদ্যমা। বাকী দুটা বাহুৰ বাবেও পৰী৪ক্ষাটো সম্পন্ন কৰা। কেইডাল মধ্যমা পালা?
মন কৰা যে এিভুজৰ যিকোনো মধ্যমা এিভুজটোৰ অন্তৰ্ভাগতে থাকে
চিত্ৰ 6.5
6.5 এিভুজ উন্নতি (Altitude of a Triangle):
এিভুজৰ এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা বিপৰীত বাহুলৈ টনা সম্বডালেই এিভুজটোৰ এডাল উন্নতি। আমি ব্যৱহাৰ কৰা উচ্চতা (Height)ৰ সৈতে এিভুজৰ উন্নতি সম্পৰ্ক আছে নে? তলৰ পৰীক্ষাটো কৰি চোৱা-
এখন ডাঠ কাগজ যেনে আৰ্ট পেপাৰত এটা এিভুজ আঁকি এিভুজটো কেঁচীৰে কাটি উলিওৱা। এিভুজটো মেজৰ ওপৰত এনেদৰে থিয় কৈ ৰাখা য়াতে এটা বাহু মেজৰ সগত মিলি থাকে। এিভুজটো কিমান ওখ কেনেকৈ জানিবা? এিভুজটোৰ শাৰ্ষবিন্দুৰ পৰা তলৰ বাহুলৈ টনা ৰেখাখণ্ডসমূহৰ আটাইতকৈ চুটি ৰেখাখণ্ডটোৱেই এিভুজটোৰ উচ্চতা। মন কৰা যে এিভুজটোৰ শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা তলৰ বাহুটোলৈ টনা আটাইতকৈ চুটি ৰেখাডাল বাহুটোৰ ওপৰত লম্ব। গতিকে এই ক্ষেত্ৰত এিভুজটোৰ উচ্চতাই ইয়াৰ উন্নতি।
চিন্তা কৰা-
এটা ত্ৰিভুজৰ উন্নতি কেইডাল আঁকিব পাৰি? ষিহেতু ত্ৰিভুজ এটাৰ শীৰ্ষবিন্দু তিনিটা আৰু প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুৰ বিপৰীতে একোটা বাহু আছে, গতিকে ত্ৰিভুজৰ উন্নতি তিনিডাল পোৱা যাব।
ত্ৰিভুজৰ যিকোনো এডাল উন্নতি সদায় ত্ৰিভুজটোৰ অন্তৰ্ভাগতে থাকিবনে?
চিত্ৰ 6.6 লৈ মন কৰা-
কি দেখিছা? চিত্ৰ 6.6
চিত্ৰ (!)উন্নতিডাল AD অন্তৰ্ভাগত আছে।
চিত্ৰ(!!)ত উন্নতিডাল EH সমকোণ সংলগ্ন বাহুটোৰ সৈতে একে হৈছে।
চিত্ৰ (!!!)ত উন্নতিডাল PS ত্ৰিভুজডোৰ বহিৰ্ভাগত আছে।
গতিকে ত্ৰিভুজৰ উন্নতিবোৰ সদায় তাৰ অন্তৰ্ভাগত নাথাকিবও পাৰে।
তোমালোকে দেখিলা যে ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা আৰু উন্নতি দুয়োডাল ৰেখাখণ্ডই ইয়াৰ এটা শীৰ্ষবিন্দুৰ পৰা তাৰ বিপৰীত বাহুলৈ অঁকা লহয়।
কেতিয়াবা ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা আৰু ইন্নতি একে হব পাৰেনে?
এটা সমবাহু অথবা সমদ্ধিবাহু ত্ৰিভুজ লৈ মধ্যমা আৰু উন্নতি আঁকি চোৱা।
কাৰ্য-1
তলৰ বিন্দুবোৰৰ পৰা বিভিন্ন আকৃতি ত্ৰিভুজ গঠন কৰা। গঠন কৰা বিভিন্ন আকৃতিৰ ত্ৰিভুজবোৰৰ পাৰ্থক্য আলোচনা কৰা।
অনুশীলনী-6.1
1. এটা ত্ৰিভুজৰ মধ্যমা কিমানডাল?
2. এটা এিভুজৰ উন্নতি সংখ্যা কিমান?
3. এটা এিভুজ আঁকা আৰু মধ্যমাবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰা।
4. এটা এিভুজ ওঁকা আৰু উন্নতিবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰা।
5. LMN ৰ LM বাহুৰ বিপৰীত কোণটো উল্লেখ কৰা।
6. PQR ৰ শীৰ্ষবিন্দু Q ৰ বিপৰীত বাহুটো উল্লেক কৰা।
7. RST ৰ RT বাহুৰ বিপৰীত শীৰ্ষবিন্দুটো উল্লেখ কৰা।
8. (! )শুদ্ধ উত্তৰটো 
চিন দিয়া
PQR ৰ PM এডাল
(a)মধ্যমা (b)উন্নতি
(c)QR ৰ সমদ্বিখণ্ডক (d) PQR ৰ বাহু ঈ
(!!)যদি PQRৰ QR ৰ মধ্যবিন্দু D হয় তেন্তে PD এডাল
(a)QRৰ লম্ব সমদ্ধিখণ্ডক (b)উন্নতি
(c)মধ্যমা (d)QR ৰ বিপৰীত বাহু
6.6 এিভুজৰ অন্ত:কোণ (Interior Angles of a Triangle):
এিভুজ ABCৰ <A, <B, <C কোণ তিনিটাক অন্ত:কোম কোৱা হয়।
6.7 এিভুজৰ বহি:কোম (Exterior Angle of a Triangle):
যিকোনো এটা এিভুজ ABC আঁকি ইয়াৰ BC বাহুক BC ৰ দিশত Dলৈ বঢ়াই বিয়া।
এিভুজচোৰ AC বাহু আৰু BC ৰ বৰ্ধিত অংশ CD য়ে
Cবিন্দুত <ACD কোণৰ সৃষ্টি কৰিছে। স্পষ্টভাৱে <ACD, <ACD ৰ বৰ্হিভাগত সৃষ্টি হোৱা এটা কোণ আৰু সেইবাবে <ACDক C বিন্দুটো <ABC ৰ এটা বহি:কোণ বোলা হয়।
মন কৰা যে (চিত্ৰ 6.11) ত AC বাহুক AC ৰ দিশত বঢ়াই দিলেও C বিন্দুত এিভুজটোৰ এটা বহি:কোণ যেনে <BCE পোৱা যাব কিন্ত্ত <ACD আৰু <BCE দুটা বিপ্ৰতীপ কোণ।
গতিকে, কোণ দুটা পৰস্পৰ সমান।অৰ্থাৎ<ABC ৰ
শীৰ্ষবিন্দু C ত দুটা বহি:কোণ <ACD আৰু <BCE
একেদৰে শীৰ্ষবিন্দু A আৰু B এিভুজটোৰ দুটা অন্য
বহি:কোণ পোৱা যাব।
<ABC ৰ শীৰ্ষবিন্দু C ত অঁকা <ACD বহি:কোণটো আকৌ বিবেচনা কৰা। চিত্ৰৰ পৰা বুজিব পাৰি <ACB আৰু বহি:কোণ <ACD,C বিন্দুত দুটা সন্নিহিত অৰ্থাৎ ওচৰা-ওচৰি কোণ। এই ক্ষেত্ৰত অন্ত:কোণ <BAC আৰু <ABC ক বহি:কোণ <ACD সাপেক্ষে দূৰৱৰ্তী অন্ত:কোণ বোলা হয়।
হাতে কামে কৰা-
কাগজ এখনত যিকোনো ABC এটা আঁকা আৰু ইয়াৰ BC বাহুক D বিন্দুলৈ বঢ়ালৈ দিয়া। ট্ৰচিং কাগজ (Tracing Paper)ব্।ৱহাৰ কৰি ABC ৰ এটা নকল তৈয়াৰ কৰা আৰু কেঁচীৰে কাটি উলিওৱা।নকল এিভুজটোৰ পৰা <A আৰু <B কাটি 
ABC ৰ বহি:কোণ <ACD ত খোমবোৰৰ শীৰ্ষবিন্দু, বাহু আদি মিলি যোৱাকৈ স্হাপন কৰা। কি দেখিলা?<A আৰু <B কোণ দুটাই <ABC ৰ অৰ্ন্তভাগ সম্পূৰ্ণ আগুৰি থকা নাইনে? গতিকে আমি কব পাৰো যে-
এিভুজৰ যিকোনো এটা অন্ত:কোণৰ সন্নিহিত বহি:কোণৰ জোখ দূৰৱৰ্তী অন্ত:কোণ দুটাৰ জোখৰ সমষ্টিৰ সমান |
বেলেগ বেলেগ এিভুজৰ ক্ষেত্ৰত এনেদৰে হাতে কামে কৰি চলি যিকোনো বহি:কোণ আৰু তাৰ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ দুটাৰ এই ধৰ্মটো পোৱা যাব। গতিকে, ত্ৰিভুজৰ উক্ত ধৰ্মটো এক সত্য।
কিন্ত্ত কথা এটাৰ সত্যতা নিৰূপণ কৰাৰ বা২বে হাতে কামে কৰি চোৱাটোৱে একমাত্ৰ উপায় নেকি? এিভুজৰ বহি:কোণ আৰু দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ সম্পৰ্কীয় অনুমানৰ যথাৰ্থাতা কিদৰে বিচাৰ কৰিব পাৰি চাওঁ আঁহা-
6.7.1 এিভুজৰ বহি:কোণ সম্পৰ্কে অনুমান:
এিভুজৰ যিকোনো এটা বহি:কোণৰ জোখ ইয়াৰ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ দুটাৰ যোগফল সমান। ABC ৰ BC ক D বিন্দু লৈ বঢ়াই দিয়াত <ACDবহি:কোণ সৃষ্টি হৈছে।Cবিন্দুৰে EC।।ABঅঁকা হল।
যথাৰ্থতা বিচাৰ:
পৰ্যায়
1. <BAC = <ACE ` AB।।EC, AC ছেদক সাপেক্ষে<BAC আৰু
2. <ABC = <ECD <ACE একান্তৰ কোণ।গতিকে পৰস্পৰ সমান।
3. <BAC + <ABC = <ACE+<ECD = <ACD AB ।।EC, BDছেদক সাপেক্ষে <ABC আৰু <ECD অনুৰূপ কোণ, গতিকে পৰস্পৰ সমান।
চিন্তা কৰা।
(i)এটা এিভুজৰ বহি:কোণ কেইটা আঁকিব পাৰি?
(ii)এটা ত্ৰিভুজৰ যিকোণো বহি:কোণ আৰু তাৰ সন্নিহিত অন্ত:কোণৰ অনুমান কৰি কোৱা।
উদাহৰণ: এটা এিভুজৰ এটা বহি:কোণৰ জোক (3X - 100) আৰু তাৰ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ দুটা250
(x + 150)হলে x ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান: আমি জানো যে, এিভুজৰ বহি:কোণ জোখ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ দুটাৰ সমষ্টিৰ সমান
গতিকে,
x - 100 =250 + x + 150
বা,2x =500
অৰ্থাৎ
,x =250
অনুশীলনী 6.2
1. খালী ঠাই পূৰ কৰা-
(a)এিভুজৰ অন্তৰ্ভাগত থকা কোণবোৰক – বোলে।
(b)এিভুজৰ বৰ্হিভাগত থকা কোণবোৰক – বোলে।
2. তলৰ চিত্ৰৰ পৰা x নিৰ্ণয় কৰা।
3. এটা এিভুজৰ এটা বহি:কোণৰ মাপ 700 আৰু ইয়াৰ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ এটাৰ মাপ 250 হলে আনটো দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণৰ মাপ কিমান?
4. এিভুজ এটাৰ বহি:কোণৰ দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণ দুটা ক্ৰমে 600 আৰু 800। বহি:কোণটোৰ মাপ কিমান?
5. এটা ত্ৰিভুজৰ বহি:কোণৰ জোখ 1140 আৰু তাৰ এটা দূৰবৰ্তী অন্ত:স্হ কোণ 250 হলে আনটো দূৰবৰ্তী অন্ত:স্হ কোণৰ জোখ কিমান?
6. এটা ত্ৰিভুজৰ এটা বহি:কোণৰ বিপৰীত অন্ত:স্হ কোণ দুটা ক্ৰমে 490 আৰু 410 হলে বহি:কোণৰ জোখ কিমান?(দূৰবৰ্তী অন্ত:কোণক বিপৰীত অন্ত:কোণও বোলা হয়।)
6.8 ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ যোগৰ ধৰ্ম :
বিভিন্ন ক্ৰিয়া-কলাপৰ জৰিয়তে এিভুজৰ অন্ত:কোণবোৰৰ সমষ্টিৰ এটি আগতীয়া ধাৰণা লওঁ আহাঁ-
(i)স্তৰ 1 : ৰঙীণ কাগজ এখনত এটা এিভুজ আঁকা। ইয়াৰ শীৰ্ষবিন্দু তিনিটা A, B, C ৰে নামকৰণ কৰা।ইয়াৰ অন্ত:কোণ তিনিটা হল <A, <B আৰু <C.
স্তৰ 2 : ABC এিভুজটো কেঁচী এখনেৰে কাটি উলিওৱা।
স্তৰ 3 : কোণ তিনিটা ত্ৰিভুজটোপৰা কাটি উলিওৱা।
স্তৰ 4 : এখন কাগজত এডাল সৰলৰেখা আঁকি কোণকেইটাৰ শীৰ্ষবিন্দু কেইটা ৰেখাডালৰ এটা বিন্দুত লগ লগোৱা আৰু ৰেখাডালৰ এটা দিশৰ পৰা আৰম্ভ কৰি কোণ তিনিটাৰ বাহুবোৰ এটাৰ পিছত এটাকৈ মিলাই যোৱা।দেখিবা যে তৃতীয় কোণৰ অন্তিম বাহুটো ৰেখাডালৰ আনটো দিশৰ সৈতে সম্পূৰ্ণ মিলি গৈছে।
(ii)কাগজত যিকোনো এটা ABC আঁকি ট্ৰেচিং কাগজৰ সহায়ত এিভুজটোৰ তিনিটা নকল প্ৰস্ত্তত কৰা। ট্ৰেচিং কাগজৰ পৰা তিনিওটা এিভুজ কাটি উলিওৱা। এতিয়া চিত্ৰত দেখুওৱা ধৰণে তিনিটাৰ বেলেগ বেলেগ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ এটা বিন্দুত এনেভাৱে মিলোৱা যাতে সিহঁতৰ বাহুবোৰ পৰস্পৰ লগলাগি থাকে। দেখিবা যে দুয়োমূৰে থকা ত্ৰিভুজ দুটাৰ বাহিৰফালে এডাল সৰলৰেখাত অৱস্হান কৰিছে।
দুয়োমূৰৰ বাহু দুটা যিহেতু এডাল সৰলৰেখাত আছে গতিকে কোণ তিনিটাই এটা বিন্দুত মিলি সৰল কোণ অৰ্থাৎ 1800 কৰিছে।
এইদৰে বেলেগ বেলেগ এিভুজ লৈ চালেও এিভুজৰ অন্ত:কোম তিনিটা মিলি 1800 বা দুই সমকোণৰ সমান হয় বুলি অনুমান কৰিব পৰা যায়।
(iii)যিকোনো এটা আঁকি কোণমাপক যন্ত্ৰৰ সহায়ত কোণবোৰৰ মাপ লৈ চালেও আমি কোণবোৰৰ সমষ্টি 1800 পাম। ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি সম্পৰ্কীয় আমাৰ পৰীক্ষালব্ধ অনুমানটোৰ যথাৰ্থাতা যুক্তিৰে বিচাৰ কৰি চাওঁ আঁহা-
কোণ চিনিটাৰ সমষ্টি সম্পৰ্কীয় অনুমান:
ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি 1800 অৰ্থাৎ দুই
সমকোণৰ সমান।
যিকোনো ABC অঁকা হল। BC বাহুক Dবিন্দুলৈ
B বঢ়াই দিয়া হল।
যথাৰ্থাতা বিচাৰ :
পৰ্যায়
1. <1 + <2 = <ACD <ABD,C বিন্দুটো এিভুজটোৰ বহি:কোণ, <1 আৰু <2
<ACD সাপেক্ষে দূৰৱৰ্তী অন্ত:কোণ। এিভুজৰ বহি:কোণৰ ধৰ্ম অনুসৰি দুয়োপক্ষ সমান।
2. <1 + <2 + <3 = <ACD + <3 সামন সামন মাপৰ সৈতে সমান সামন মাপপ যোগ কৰিলে যোগফলবোৰ সমান হয়।
3. <ACD + <3 = 1800 <ACD আৰু <3 য়ে ৰৈখিক যোৰ সৃষ্টি কৰিছে।
4. <1 + <2 + <3 = 1800 পৰ্যায় 2 আৰু পৰ্যায় 3 ৰ পৰা
গতিকে, এিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি 1800 বা দুই সমকোণৰ সমান অৰ্থাৎ আমাৰ অনুমানটো সত্য।
উদাহৰণ 1: এটা কোণ এিভুজৰ দুটা অন্ত:কোণ ক্ৰমে 750 আৰু 350 হলে তৃতীয় কোণটোৰ জোখ কিমান?
সমাধান : ধৰাহল, ABC ৰ <B = 750 আৰু <c = 350
<A ৰ মান উলিয়াব লাগে।
<A + <B + <C = 1800 ( এিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম)
বা, <A + 750 + 350 = 1800
বা, <A + 110 =1800
বা, <A = 1800 - 1100
= 700
উদাহৰণ 2: এটা এিভুজৰ দুটা কোম ক্ষুদ্ৰতম কোণটোৰ ক্ৰমে দুগুণ আৰু তিনিগুণ হলে কোণকেইঊটা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান : ধৰাহল, ক্ষুদ্ৰতম কোণটো =X
গতিকে, আন কোণ দুটা ক্ৰমে 2X আৰু 3X
অৰ্থাৎ, X + 2X + 3X =1800 (ত্ৰিভুজৰ কোণবোৰৰ সমষ্টি ধৰ্ম)
বা, 6X =1800
বা, X =
বা, X = 300
ক্ষুদ্ৰতম কোণটোৰ মাপ 300
গতিকে, আন দুটা কোণৰ মাপ ক্ৰমে (2X 30)0 = 600 আৰু 3X = (3
30)0 = 900 কোণ তিনিটা জোখ 300, 600 আৰু 900
উদাহৰণ 3: এটা ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ অনুপাত 2:3:4; কোণ তিনিটা নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান : চৰ্তানুসৰি কোণ তিনিটা 2X, 3X, 4X ধঁৰো
তেন্তে, 2X+ 3X + 4X = 1800
বা, 9X =1800
বা, X = 200
গতিকে, কোণ তিনিটা 2X = 2 200 = 400
3X = 3 200 = 600 আৰু
4X = 4200 = 800
6.9 দুই বিশেষ এিভুজ- সমবাহু আৰু সমদ্বিবাহু এিভুজ (Two special Triangles- Equilateral and Isosceles):
6.9.1 সমবাহু এিভুজ: ধৰাহল, ABC এটা সমবাহু এিভুজ। এিভুজটোৰ অন্ত:কোণবোৰ কেনে ধৰণৰ হব বাৰু? পৰীক্ষা এটা কৰা যাওঁক। কাগজত বাহুবোৰৰ মাপ সমান হোৱাকৈ ABC আঁকা আৰু কেঁচী এখনেৰে ইয়াক কাটি উলিওৱা।B বিন্দুটো C বিন্দুৰ ওপৰত পৰাকৈ ত্ৰিভুজটোক ভাঁজ কৰা। দেখিবা AB বাহু AC বাহুৰ সৈতে আৰু <B, <C ৰ সৈতে সম্পূৰ্ণ ৰূপে মিলি গৈছে। গতিকে, ইয়াৰ পৰা বুজিব পাৰি যে <B = <C।
গতিকে, A বিন্দুটো C বিন্দুত পৰাকৈ এিভুজটো ভাণজ কৰালে BA বাহু BC বাহুৰ সৈতে আৰু <A, <C ৰ সৈতে মিলি যাব। অৰ্থাৎ <A = <C>
গতিকে, ABC সমবাহু এিভুজটোৰ ক্ষেত্ৰত <A = <B = <C অৰ্থাৎ কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান।কিন্ত্ত <A + <B = 1800 (এিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি সম্পৰ্কীয় ধৰ্মৰ পৰা)
গতিকে <A = <B = <C = 600
অৰ্থাৎ সমবাহু এিভুজ প্ৰতিটো কোণৰ মাপ 600
6.9.2 সমদ্বিবাহু এিভুজ (Isosceles Triangle):
ধৰাহল abc এটা সমদ্বিবাহু এিভুজ যাতে AB= AC
এিভুজটোৰ কোণ তিনিটাৰ কোনো বিশেষ বৈশিষ্ট দেখা পাইছানে?
কাগজত সমদ্বিবাহু এিভুজ ABC আঁকা যাতে AB = AC আৰু ট্ৰেচিং কাগজত সহায়ত এিভুজটোৰ এটা হুবহু নকল তৈয়াৰ কৰি কেঁচীৰে কাটি উলিওৱা।
এতিয়া ট্ৰেচিং কাগজত অঁকা নকল ত্ৰিভুজটোক মূল ABC ৰ ওপৰত এনেভাৱে স্হাপন কৰা যাতে নকল ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু A, C আৰু D ত মিলি যায়। তেনেক্ষেত্ৰত নকল এিভুজৰ বাহু AB, AC আৰু BC মূল এিভুজটোৰ বাহু যথাক্ৰমে <A, <C আৰু <B সৈতে মিলি যাব।
ইয়াৰ পৰা আমি কব পাৰো যে সমদ্বিবাহু এিভুজৰ সমান বাহু দুটাৰ সন্মুখৰ কোণ দুটা সমান। অৰ্থাৎ <B = <C
মন কৰা যে সকলো এিভুজই সমদ্বিবাহু কিন্ত্ত সমদ্বিবাহু নহবও পাৰে।
ক্ৰিয়াকলাপ : চিত্ৰ 6.16ৰ এিভুজবোৰৰ নামকৰণ কৰি তালিকাখন পূৰ কৰা
এিভুজ | বাহু হিচাপে এিভুজ (সমবাহু, সমদ্বিবাহু বা বিষম বাহু) | কোণ হিচাপে এিভুজ (সমকোণী, সূক্ষ্মকোণী বা স্হলকোণী) |
a |
|
|
b |
|
|
c | |
|
d |
|
|
e |
|
|
f |
|
|
g |
|
|
h |
|
|
বহু বিকল্পীত প্ৰশ্ন :
উদাহৰণ 1 : ABC ৰ AB = BC = 9 চেমি হলে এিভুজটো
A. সমবাহু এিভুজ।
B. সমদ্বিবাহু এিভুজ
C. বিষম বাহু এিভুজ
সমাধান : ইয়াত AB = AC = BC = 9 চেমি গতিকে ই সমবাহু এিভুজ
উদাহৰণ 2 : এটা এিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ জোখ 600 হলে এিভুজটো হব
A. সমবাহু এিভুজ
B. সমদ্বিবাহু এিভুজ
C. বিষম বাহু এিভুজ
সমাধান : এটা সমবাহু এিভুজৰ প্ৰত্যেকটো কোণৰ জোখ 600। সমবাহু।
উদাহৰণ 3 : এটা এিভুজৰ দুডাল বাহুৰ প্ৰত্যেকৰে মাপ 12 চেমি আৰু তৃতীয় বাহুৰ মাপ 8 চেমি হলে এিভুজটো হব
A. সমবাহু এিভুজ।
B. সমদ্বিবাহু এিভুজ।
C. বিষম বাহু এিভুজ।
সমাধান : ইয়াত দুডাল সমান জোখৰ বাহু আছে গতিকে ই এটা সমদ্বিবাহু এিবুজ হব।
উদাহৰণ 4 : এটা এিভুজৰ দুটা কোণৰ পৰিমান ক্ৰমে 5100 আৰু 780 হলে এিভুজটো হব।
A. সমবাহু এিভুজ।
B. সমদ্বিবাহু এিভুজ।
C. বিষম বাহু এিভুজ।
সমাধান তৃতীয় কোণ = 1800-(510+780)= 510
দেখা গল, এিভুজটোৰ দুটা কোণ সমান, গতিকে এিভুজটো সমদ্বিবাহু এিভুজ। কৰাণ, এিভুজৰ দুটা বাহু পৰস্পৰ সমান হলে সিহঁতৰ সমুখৰ কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান হয়।
অনুশীলনী- 6.3
1. চিএৰ পৰা x নিৰ্ণয় কৰা
2. চিত্ৰৰ x আৰু y নিৰ্ণয় কৰা
3. এটা এিভুজৰ এটা কোণৰ মাপ 600। বাকী দুটা কোণৰ মাপ তলৰ কোনটো হব-
(a)500, 400 (b)400,600 (c)600, 700 (d)500, 700
4. চিত্ৰৰ পৰা <p নিৰ্ণয় কৰা।
5. এটা এিভুজৰ দুটা কোণ 300 আৰু 800। তৃতীয় কোণটো নিৰ্ণয় কৰা।
6. এটা এিভুজৰ কোম 800 আৰু বাকী কোণ দুটা পৰস্পৰ সমান। কোণ দুটাৰ জোখ কিমান?
7. এটা এিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ অনুপাত 1:2:3 । কোণ তিনিটাৰ জোখ নিৰ্ণয় কৰা।
8. এটা এিভুজৰ কোণ তিনিটা ক্ৰমে (x + 210), (x-200) আৰু (2x - 450) হলে x ৰ মান কিমান?
9. এিভুজ এটাৰ কোণবোৰৰ অনুপাত 1:2:3। কোণবোৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
10. ABC ৰ <A + <B = 1160, <B + <C = এিভুজটোৰ অন্ত:কোণবোৰৰ জোখ নিৰ্ণয় কৰা।
11. ABC ৰ 2<A = 3 <B = 6 <C হলে <A, <B আৰু <c উলিওৱা।
12. চিত্ৰত <CAM = 450, AC = AB আৰু BC = BD
(a)<ACB আৰু b)<CDB মান নিৰ্ণয় কৰা।
6.10 সমকোণী এিভুজ আৰু পাইথাগোৰাচৰ ধৰ্ম :
চিন্তা কৰা, এিভুজ এটাত এটাতকৈ অধিক সমকোণ থাকিব পাৰেনে?
এিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টিৰ ধৰ্ম অনুসৰি এিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি দুই সমকোণ বা 1800 ৰ সমান।
গতিকে, কোনো এিভুজৰ এটা কোণ সমকোণ সমকোণৰ সমান হলে বাকী থকা কোণ দুটাৰ সমষ্টিও এক সমকোণৰ সমান হব। অৰ্থাৎ, বাকী কোণ দুটাৰ প্ৰতিটোৱেই এক সমকোণতকৈ সৰু হব লাগিব।
গতিকে, এিভুজ এটাত এটাতকৈ অধিক সমকোণ থকাটো অসম্ভৱ।
চিত্ৰত 6.17 ABC এটা সমকোণী এিভুজ।
সমকোণী এিভুজৰ ক্ষেত্ৰত বাহুকেইটাক বিশেষ নামেৰে উল্লেখ
কৰা হয়। সমকোণৰ সমুখৰ বাহুটোক অতিভুজ আৰু সমকোণৰ
সংলগ্ন বাহু দুটাক পাৰ্শ্বভুজ বোলা হয়।
সমকোণী এিবুজৰ বাহু তিনিটাৰ এক বিশেষ ধৰ্মক
পাইথাগোৰাছৰ ধৰ্ম হিচাপে উল্লেক কৰা হয়।
পাইথাগোৰাচৰ ধৰ্ম অনুসৰি এটা সমকোমী এিভুজৰ অতিভুজৰ বৰ্গ দুই পাৰ্শ্বভুজৰ বৰ্গৰ যোগফলৰ সমান।
অৰ্থাৎ, এটা সমকোণী এিভুজৰ অতিভুজ a আৰু দুই পাৰ্শ্বভুজ ক্ৰমে b আৰু c হলে
a2 = b2 + c2
এটা সহজ পৰীক্ষাৰ দ্বাৰা এই ধৰ্মটো আমি পৰীক্ষা কৰি চাব পাৰোঁ।
(b+c)জোখৰ বাহু বিশিষ্ট দুটা বৰ্গ আঁকা আৰু প্ৰদও সমকোণী এিভুজৰ সৈতে হুবহু একে 8 টা সমকোণী এিভুজ তৈয়াৰ কৰা।
এয়াৰ 4 টা সমকোণী এিভুজ প্ৰথম বৰ্গটোত আৰু টা সমকোণী এিভুজ দ্বিতীয় বৰ্গটোত সিপিঠিৰ চিত্ৰত দেখুওৱা ধৰণে সজোৱা।
কি দেখিলা? প্ৰথম বৰ্গটোত চাৰিটা সমকোণী এিভুজ চিত্ৰত 6.18 দেখুৱা ধৰণে বহুওৱাৰ পিছত a বাহু বিশিষ্ট বৰ্গ এটাৰ সমান টাই খালী থাকে (ছঁ দিয়া অংশ)।
একেদৰে বাকী 4 টা সমকোণী এিভুজ দ্বিতীয় বৰ্গটোত চিত্ৰত দেখুৱা ধৰণে সজোৱাৰগ পিছত তাত b বাহু বিশিষ্ট আৰু c বাহু বিশিষ্ট দুটা বৰ্গৰ সমান ঠাই খালী থাকে।
যিহেতু দুয়ো ৰ সহায়ত পাইথাগটা বৰ্গৰ আকাৰ একে অৰ্থাৎ b+c বাহু বিশিষ্ট আৰু
বৰ্গ দুটাত সজোৱা সমকোণী এিভুজৰ সংখ্যাও সমান সমান, গতিীকে
বৰ্গ দুটাত থকা খালী অংশ দুটাও পৰস্পৰ সমান।
প্ৰথম বৰ্গৰ খালী অংশ হল a বাহু বিশিষ্ট বৰ্গৰ সমান অৰ্থাৎ
a2 আৰু দ্বিতীয় বৰ্গৰ খালী অংশ হল b আৰু c বাহু বিশিষ্ট বৰ্গ
দুটাৰ সমান
গতিকে,
অৰ্থাৎ, সমকোণী এিভুজৰ অতিভুজৰ বৰ্গ পাৰ্শ্ববাহু দুটাৰ
নবৰ্গ যোগফল সমান।
কাষৰ চিত্ৰ 6.19ৰ সহায়ত পাইথাগোৰাছৰ ধৰ্মটো প্ৰদৰ্শন কৰা হৈছে অৰ্থাৎ, সমকোণী এিভুজৰ ক্ষেত্ৰত অতিভুজৰ ওপৰত অঁকা বৰ্গটোৰ কালি বাকী দুটাৰ এপৰত অঁকা বৰ্গ দুটাৰ কালিৰ যোগফলৰ সমান।
হাতে কাম কৰি চোৱা-
বেলেগ বেলেগ জোখৰ বাহু বিশিষ্ট কিছুমান এিভুজ অংকন কৰা যেনে:
(i)2 চেমি, 3চেমি, 4চেমি
(ii)3চেমি, 4চেমি, 5চেমি
(iii)2চেমি, 3চেমি 5চেমি
(iv)2চেমি, 4চেমি, 5চেমি ইত্যাদি
(i)ৰ ক্ষেত্ৰত 22+32 =13 আৰু 42 = 42 = 16
অৰ্থাৎ 22 + 32 <42
এতিয়া এিভুজটোৰ কোণবোৰ জুখি চোৱা। এিভুজটোত সমকোণ আছেনে? দেখিবা যে এিভুজটোত এটা স্থুলকোণহে আছে।
(ii)ৰ ক্ষেত্ৰত 32+42=9+16+25 আৰু 52=25
অৰ্থাৎ 32+42=52
এতিয়া কোণবোৰ জুখি চোৱা। এিভুজটোত সমকোণ আছেনে? দেখিবা যে এিভুজটোত এটা স্থুলকোণহে আছে।য
(ii)ৰ ক্ষেত্ৰত 32+42=9+16=25 আৰু 52 = 25
অৰ্থাৎ 32+42=52
এতিয়া কোণবোৰ জুখি চোৱা।দেখিবা 5 চেমি দৈৰ্ঘৰ বাহুৰ সমুখৰ কোণটো এটা সমকোণ হৈছে। অৰ্থাৎ পাইথাগোৰাচৰ ধৰ্মটো ইয়াত প্ৰযোজ্য হৈছে।
একেদৰে বাকী এিভুজকেইটা পৰীক্ষা কৰা।
এই পৰীক্ষা পৰা বুজিব পাৰিবা যে পাইথাগোৰাছ ধৰ্মটো বিপৰীত দিশৰ পৰাও প্ৰযোজ্য, অৰ্থাৎ এটা এিভুজৰ দুটা বাহুৰ বৰ্গৰ সমষ্টি তৃতীয় বাহুৰ বৰ্গৰ সমান হলে এিভুজটো সমকোণী হয়।
এটা সলকোণী এিভুজৰ অতিভুজৰ বৰ্গ, দুই পাৰ্শ্বভুজৰ বৰ্গ যোগফল সমান।সমকোণী এিভুজৰ এই ধৰ্মটো পোমপ্ৰথমে পাইথাগৰাচ (570-495BC)নামৰ এগৰাকী গণিতজ্ঞই প্ৰমান কৰিছিল। সেয়েহে সমকোণী এিভুজৰ এই ধৰ্মটো পাইথাগোৰাচৰ ধৰ্ম হিচাপে বিখ্যাত হয়। তেওঁ প্ৰাচীন গ্ৰীক সভ্যতাৰ এগৰাকী গণিতজ্ঞ আৰু দাৰ্শনিক আছিল। কিন্ত্ত পাইথাগোৰাচৰ আগতো বিভিন্ন সভ্যতাত ইয়াৰ ব্যৱহাৰৰ উল্লেখ পোৱা যায়। জ্যামিতিৰ উপৰি সংখ্যা, সমানুপাত আদিৰ ক্ষেত্ৰত পাইথাগোৰাচ আৰু তেওঁৰ অনুগামীসকলে বহুলভাৱে চৰ্চা কৰিছিল। ভাৰতীয় বৌদ্ধায়ণ শুল্বসূত্ৰ গ্ৰন্থত পাইথাগোৰচৰ বহুপূৰ্বে এই সূএটোৰ উল্লেখ আছে। সূত্ৰটো আয়তক্ষেত্ৰত প্ৰয়োগ কৰিছিল।
|
6.11 এটা এিভুজৰ অসমতাসমূহ (Inequalities of a Triangle):
তোমালোকে প্ৰধানত:এটা বা একাধিক এিভুজৰ বাহু আৰু কোণসমূহৰ সমতা বিষয়ক কথাবোৰ অধ্যয়ন কৰি আছা। কোনো সময়ত আমি অসমান আমি বস্ত্ত বা সামগ্ৰীৰ সৈতে মুখামুখি হওঁহক।সেইবোৰৰ পাৰস্পৰিক তুলনা আমাৰ বাবে আৱশ্যকীয় হৈ পৰে।
কাৰ্য :এিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ দৈৰ্ঘৰ যোগফল আন বাহুডালৰ দৈৰ্ঘৰ লগত তুলনা কৰোঁ আঁহা :এিভুজৰ যিকোনো দুডাল বাহুৰ দৈৰ্ঘ্যৰ যোগফল আন বাহুডালৰ দৈৰ্ঘ্যৰ লগত তুলনা কঁৰো আঁহা-চিত্ৰত 6.20 দেখুওৱাৰ দৰে ABC, DEF আৰু 
GHI আঁকি লোৱা।স্কেলৰ সহায়ত বাহুবোৰৰ জোখ লৈ তালিকাখন পূৰ কৰা-
এিভুজ | বাহুৰ জোখ | দুটা বাহুৰ জোখৰ জোগফল | দুটা বাহুৰ জোখৰ পাৰ্থক্য | মন্তব্য |
| AB= BC= CA= | AB+BC= BC+AC= AC+AB= | AB-BC= BC-AC= AC-AB |
|
| DE= EF= DF= | DE+EF= EF+DF= DF+DE= | DE-EF= EF-DF= DF-DE= DF-DE= |
|
| GH= HI= GI= | GH+HI= HI+GI= GI+GH= | GH-HI= HI-GI= GI-GH= |
|
এটা এিভুজৰ দুটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য যোগফল :
তলৰ প্ৰতিটো গোটত তিনিডাল ৰেখাখণ্ডৰ জোখ দিয়া হৈছে, প্ৰতিটো ৰেখাখণ্ডৰ জোখৰ জৰিয়তে একোটা এিভুজ তৈয়াৰ কৰিব পাৰি নে চোৱাচোন- কাৰ্যটো তোমালোকে নিৰ্দিষ্ট জোখৰ বাঁহৰ কাঠিৰ জৰিয়তে কৰি চাবা-
(i)(3চে মি, 5চে মি, 7চে মি)(ii)(4চে মি, 6চে মি, 2চে মি)(iii)(7চেমি, 6চেমি, 5চেমি)
(iv)(6চে মি, 8চে মি, 3চে মি)(v)(3চে মি, 6চে মি, 2চে মি)
তোমালোকে নিশ্চয় মন কৰিছা যে-
(i),(ii),(iv)গোট কোইটাৰ নিৰ্দিষ্ট জোখেৰে কটা কাঠি কেইডালৰ আগকেইটা সংযোগ কৰি এিভুজ তৈয়াৰ কৰিব পৰা যাব। কিন্ত্ত (ii)আৰু (v) গোট কেইটাৰ জোখৰ কাঠি কেইডালৰ আগকেইটা লগ নালাগিব বা এিবুজ তৈয়াৰ কৰিব পৰা নাযাব।(কাৰণটো কি পিছত নিজে উলিয়াবলৈ চেষ্টা কৰিবা, নোৱাৰিলে শিক্ষকৰ সহায় লবা)
ওপৰৰ এিভুজ তৈয়াৰ কৰিব পৰা জোখ কেইটা চালে দেখিবা-
এিভুজৰ বাহুৰ জোখ দুডাল বাহুৰ সমষ্টি
(i)(3চে মি, 5চে মি, 7চে মি) 3+5>7, 5+7>3, 3+7>5
(ii) (7চে মি, 6চে মি, 5চে মি) 6+8>3, 8+3>6, 6+3>8
(iii)(6চে মি, 8চে মি, 3চে মি) 6+8>3, 8+3>6, 6+3>8
অৰ্থাৎ, (i),(ii),(iii)ৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত যিকোনো দিডালৰ জোখ তৃতীয় ডালতকৈ ডাঙৰ।
সেয়েহে, যিকোনো তিনিটা বাহু ৰ দ্বাৰা এটা এিভুজ ABC গঠন কৰিব পৰা যাব যদিহে-
AB+BC>AC
AC+AB>BC
BC+AC>AB,হয়
এতিয়া ওপৰৰ (ii) আৰু (v)গোটকেইটা জোখৰ কাঠি কেইডালৰ জৰিয়তে কিয় এিভুজ তৈয়াৰ কৰিব পৰা নগল গম পাইছানে?
উদাহৰণ 9: 7চে মি, 9চে মি, 13চে মি বাহুৰ এটা এিবুজ সম্ভৱনে? পৰীক্ষা কৰা
সমাধান : 7+9=16>13
9+13=22>7
13+7=20>9
প্ৰদও বাহু তিনিটাৰ জোখবোৰৰ পৰা বুজা যায় যে যিকোনো দুটা বাহুৰ জোখৰ সমষ্টি তৃতকীয় বাহুতকৈ ডাঙৰ। গতিকে ই এটা এিভুজৰ বাহু হব।
উদাহৰণ : 10:4চে মি, 8চে মি, 15চে মি এটা এিভুজৰ বাহুৰ জোখ হবনে?
সমাধান :ইয়াত 4+8=12<15
গতিকে এ ইটা এিভুজৰ বাহুৰ জোখ হব নোৱাৰে।
অনুশীলনী-6.4
1. চিএত AB= চে মি, BC= 17চে মি আৰু AD=8চে মি. ACনিৰ্ণয় কৰা
2. এটা এিভুজৰ পৰিসীমা 15 চে মি।ছ যদি দুডাল বাহু 5 চে মি আৰু 7 চে মি জোখৰ হয় তৃতীয় বাহুডালৰ জোখ কিমান?
3. আয়ত এটাৰ দুডাল সন্নিহিত বাহুৰ জোখ 16চে মি আৰু 12 চে মি। কৰ্ণ ৱদুডালৰ প্ৰতিডালৰ দীঘ কিমান?
4. ABC ৰ O এটা বহি:স্হ বিন্দু। দেখুওৱা যে 2(OA+OB + OC)>AB+BC+CA
5. তলৰ জোখবিশিষ্ট বাহুবোৰে সমকোণী এিভুজ গঠন কৰিবানে?
(a)5,12,13 (b)3,4,5 (c)6,8,10 (d)6,7,8
6. তলৰ জোখবোৰৰ এটা এিভুজৰ বাহু হবনে?
(a)3চে মি, 4চে মি, 5চে মি (b)5চে মি, 7চে মি, 12চে মি
(c)304চে মি, 2চে মি, 508 চে মি (d)6চে মি, 7চে মি, 14চে মি
7. ABCD এটা চতুৰ্ভুজ হলে প্ৰমান কৰা যে
AB+BC+CD+DA>AC+BD
অনুশীলনী-6.5
প্ৰশ্ন নং 1ৰ পৰা 12লৈ প্ৰত্যেক প্ৰশ্নৰ বাবে চাৰিটাকৈ সাম্ভাৱ্য উত্তৰ দিয়া আছে। শুদ্ধ উত্তৰটো বাওছি উলওৱা
তলৰ চিত্ৰত Xৰ মান হব
(a)400
(b)600 
(c)350
(d)1800
2. xৰ মান নিৰ্ণয় হব-
(a)1800
(b) 550 
(c)900
(d)600
3. ABC ৰ <A=350 হলে <C=?
(a)500 (b)800 (c)300 (d)600
4. সমকোণী এিভুজ এটাৰ অতিভুজৰ জোখ 17 চে মি। যদি এডাল বাহু 8 চে মি জোখৰ হয় তেনেহলে আনডালৰ জোখ
(a)15চে মি (b)12 চে মি (c)13 চে মি (d)25 চে মি
5. ABC ৰ <A= 720, <B=630হলে<C=?
(a)450 (b)800 (c)510 (d)600
6. সমকোণী এিভুজ এটাৰ এটা সূক্ষ্মকোণৰ জোখ 360 হলে আনটোৰ জোখ কিমান?
(a)550 (b)540 (c)510 (d)520
7. চিত্ৰত xৰ জোখ নিৰ্ণয় কৰা।
(a)5চে মি
(b)7চে মি 
(c)3চে মি
(d)4চে মি
8. xৰ দীঘ কিমান
(a)15চে মি (b)17চে মি 
(c)13চে মি (d)14চে মি
9. ABC সমকোণীৰ <C=900>। যদি AC=5চে মি, BC=12চে মি তেন্তে AB হব
(a)7চে মি (b)17চে মি (c)13চে মি (d)14চে মি
10. PQR ৰ <P=900, PQ=3চে মি, PR=4চে মি তেন্তে QR হব
(a)7চে মি (b)17চে মি (c)5চে মি (d)13চে মি
11. চিত্ৰত xৰ মান হব
(a)900
(b)600 
(c)800
(d)400
12. পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যটো সিন্ধ হয় যদিহে এিভুজটো
(a)স্থুলকোণী (b)সমকোণী (c)সূক্ষ্মকোণী
TYPE-BHARAT KALITA
Post ID : DABP005386
