পাঠ ৩
অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত
অনুশীলনী 3.5



1. 4 মাপাংক সাপেক্ষে 50 আৰু 100 ৰ মাজত থকা 1 ৰ সমান সংখ্যাবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰো, n সংখ্যাটো 4 মাপাংক সাপেক্ষে 1 ৰ সমান।
∴ n ≡ 1(mod 4)
4|n - 1
⇒n - 1 = 4k
⇒ n = 4k + 1
প্ৰশ্নমতে, 50 < n < 100
⇒ 50 < 1 + 4k < 100
⇒ 50 - 1 < 1 + 4k - 1 < 100 - 1
⇒ 49 < 4k < 99
ইয়াৰ পৰা k = 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 আৰু 24
∴ n = 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97


2. 17 মাপাংক সাপেক্ষে 70 আৰু 130 ৰ মধ্যৱৰ্তী 11 ৰ সমান আটাইবোৰ সংখ্যা উলিওৱা।

উত্তৰঃ ধৰো, n সংখ্যাটো 17 মাপাংক সাপেক্ষে 11 ৰ সমান।
∴ n ≡ 11(mod 17)
17|n - 11
⇒ n - 11 = 17k
⇒ n = 17k + 11
প্ৰশ্নমতে 70 < 17k + 11 < 130
⇒ 70 - 11 < 17k + 11 - 11 < 130 - 11
⇒ 59 < 17k < 119
ইয়াৰ পৰা k = 4, 5, 6
∴ n = 79, 96, 113


3. 11 মাপাংক সাপেক্ষে 2ৰ সমান আটাইবোৰ অখণ্ড সংখ্যানিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ধৰো, n সংখ্যাটো 11 মাপাংক সাপেক্ষে 2ৰ সমান।
∴ n ≡ 2 (mod 11)
⇒ 11|n - 2
⇒ n - 2 = 11k
⇒ n = 11k + 2
k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4......
⇒ n = 2, -9, 13, -20, 24, -31, 35...........


4. 250 ক 7 ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ কি হ'ব উলিওৱা।

উত্তৰঃ 
25 = 32 ≡ 4 (mod 7)            ( ∵ 7|32 - 4)
⇒ 25 ≡ 4 (mod 7)⇒⇒
এতিয়া, (25)2 = 16 ≡ 2 (mod 7)
⇒ (25)2 ≡ 2 (mod 7)            (∵ 7| 16 -2)
⇒ {(25)2}5 ≡ 25 = 32 ≡ 4(mod 7)
⇒ 250 ≡ 4 (mod 7)
⇒ নিৰ্ণেয় ভাগশেষ = 4


5. 4165 ক 7 ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ কিমান হ'ব উলিওৱা।

উত্তৰঃ 41 ≡ - 1 (mod 7)        [∵ 7|41 - (-1)]
⇒ (41)13 ≡ (-1)13 ≡ (-1) = 6 (mod 7)
⇒ {(41)13}5 = 65 = 7776 ≡ 6 (mod 7)         [∵ 7|7776 - 6]
⇒ 4165 ≡ 6(mod 7)
∴ নিৰ্ণেয় ভাগশেষ = 6


6. 100100 ক 101 ৰে ভাগ কৰিলে ভাগশেষ কিমান হ'ব নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 100 ≡ -1 (mod 101)        [∵ 101|100 - (-1)]
⇒ (100)50 = (-1)50 ≡ 1 (mod 101)
⇒ {(100)50}2 = 12 = 1 (mod 101)
⇒ 100100 ≡ 1 (mod 101)        [∵ 101|100 + 1]























8. a যিকোনো অযুগ্ম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা যে, a2 ≡ 1 (mod 8)।

উত্তৰঃ ভাগকলনৰ পৰা আমি পাওঁ যে যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা a ক 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 ধৰণে লিখিব পাৰি।
∵ a অযুগ্ম, গতিকে, a = 4k + 1 আৰু 4k + 3
এতিয়া, a2 = (4k + 1)2 
                 = 16k2 + 8k + 1
                 = 8k( 2k + 1) + 1        [ ∵ 8|8k(2k + 1)]
⇒ a2 ≡ 1 (mod 8)
আকৌ, a2 = (4k + 3)2 
                 = 16k2 + 24k + 9
                 = 16k2 + 24k + 8 + 1
                 = 8(2k2 + 3k + 1) + 1
⇒a2 ≡ 1 (mod 8)        [ ∵ 8|8(2k2 + 3k + 1)]
অৰ্থাৎ a যিকোনো অযুগ্ম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত a2 ≡ 1 (mod 8) দেখুওৱা হ'ল।


9. 1880 চনৰ পহিলা জানুৱাৰী তাৰিখে সোমবাৰ পৰিলে সেই চনৰ20 জুন তাৰিখে কি বাৰ পৰিছিল?

উত্তৰঃ 
1880 চনৰ জানুৱাৰী 1 তাৰিখৰ পৰা জুনৰ 20 তাৰিখলৈ মুঠ দিন
= 31 + 29 + 31 + 30 + 31 + 19    (ফেব্ৰুৱাৰী = 29 দিন ∵ 1880 চনটো লিপ ইয়েৰ)
= 171
এতিয়া, 171 = 24 x 7 + 3
⇒ 171 - 3 = 24 x 7
⇒ 7|171 - 3
⇒ 171 ≡ 3 (mod 7)
অৰ্থাৎ 1880 চনৰ 20 জুন তাৰিখে বৃহস্পতিবাৰ পৰিছিল।


10. 1936 চনৰ পহিলা জানুৱাৰীত বুধবাৰ পৰিলে 1946 চনৰ 31 ডিচেম্বৰত কি বাৰ পৰিছিল?

উত্তৰঃ 1936 চনৰ পৰা 1946 চনলৈ 1936, 1940 আৰু 1944 চনকেইটা লিপ ইয়েৰ হ'ব। অৰ্থাৎ এই বছৰ কেইটাত 366 দিন হ'ব।

∴ 365 x 7 + 366 x 3 = 3653
এতিয়া, 3653 = 7 + 521 + 6
        ⇒ 3653 - 6 = 7 x 521
        ⇒ 7|3653 - 6
        ⇒ 3653 ≡ 6 (mod 7)
অৰ্থাৎ 1946 চনৰ 31 ডিচেম্বৰৰ দিনা মঙলবাৰ পৰিছিল।


11. I অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি, a, b ∈ I আৰু n নিৰ্দিষ্ট ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হ'লে a ≡ b (mod n) সম্পৰ্কটো এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক বুলি দেখুওৱা।

উত্তৰঃ 
দিয়া আছে; a ≡ b (mod n) 
⇒ b ≡ a (mod n)
অৰ্থাৎ সম্পৰ্কটো সমমিত।
আকৌ, a ≡ a (mod n)
অৰ্থাৎ সম্পৰ্কটো স্বতুল্য।
আকৌ, a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n) ⇒ a ≡ c (mod n)
অৰ্থাৎ সম্পৰ্কটো সংক্ৰামক।
∴ সম্পৰ্কটো সমমিত, স্বতুল্য আৰু সংক্ৰামক।



Post ID: DABP001939