পাঠ ২
বহুপদ
Polynomials
Exercise 2.3
1. P(x) বহুপদটোক g(x) বহুপদটোৰে হৰণ কৰা আৰু পিৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ভআগফল আৰু ভাগশেষ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) P(x) = x3 - 3x2 + 5x - 3 g(x) = x2 - 2
2. দ্বিতীয় বহুপদটোক প্ৰথম বহুপদেৰে হৰণ কৰি প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰাঃ
3. যদি দুটা শূণ্য √(5/3) আৰু -√(5/3), তেন্তে 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5 ৰ বাকী আটাইবোৰ শূণ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো,
P(x) = 3x4 + 6x3 - 2x2 - 10x - 5
দিয়া আছে;
ইয়াৰ দুটা মূল √(5/3) আৰু -√(5/3)
∴ P(x) ৰ এটা উৎপাদক
=
∴P(x)ৰ আন এটা উৎপাদক হৈছে
= 3x2 + 6x + 3
এতিয়া,
3x2 + 6x + 3
= 3x2 + 3x + 3x + 3
= 3x(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(3x + 3)
∴ x + 1 = 0 নাইবা 3x + 3 = 0
∴ x = -1 নাইবা x = -1
∴ আন দুটা মূল -1 আৰু -1
4. x3 - 3x2 + x + 2 ক এটা বহুপদ g(x) ৰে হৰণ কৰাত ভাগফল x - 2 আৰু ভাগশেষ -2x + 4 পোৱা গ'ল। g(x) উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ইয়াত, P(x) = x3 - 3x2 + x + 2
q(x) = x - 2
r(x) = -2x + 4
∴ g(x) = ?
বিভাজনৰ কলন বিধিৰ দ্বাৰা আমি পাওঁ,
P(x) = g(x)q(x) + r(x)
⇒ x3 - 3x2 + x + 2 = g(x)(x - 2) - 2x + 4
⇒ x3 - 3x2 + 3x - 2 = g(x)(x - 2)
এতিয়া,
∴ g(x) = x2 - x + 1
6. (i) 3x3 - x2 - 3x + 1 বহুপদটোৰ এটা শূন্য 1। ইয়াৰ বাকীকেইটা যূন্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∵ ইয়াৰ এটা শূন্য 1
∴ (x - 1) হৈছে ইয়াৰ এটা উৎপাদক।
এতিয়া,
আন এটা উৎপাদক হৈছে
= 3x2 + 2x - 1
= 3x2 + 3x - x - 1
= 3x(x + 1) - 1(x + 1)
= (x + 1)(3x - 1)
∴ x + 1 = 0 নাইবা 3x - 1 = 0
⇒ x = -1 নাইবা x = 1/3
∴ আন শূন্যবোৰ হৈছে -1 আৰু 1/3
(ii) x4 + x3 - 9x2 - 3x + 18 বহুপদটোৰ দুটা শূন্য √3 আৰু -√3। ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∵ √3 আৰু -√3 ইয়াৰ মূল
∴ (x + √)(x - √3)
= x2 - 3 ইয়াৰ এটা উৎপাদক।
এতিয়া,
x2 + x - 6 হৈছে ইয়াৰ আন এটা উৎপাদক
এতিয়া,
x2 + x - 6
= x2 + 3x - 2x - 6
= x(x + 3) - 2(x + 3)
= (x + 3)(x - 2)
∴ x + 3 = 0 নাইবা x - 2 = 0
⇒ x = - 3 নাইবা x = 2
∴ -3 আৰু 2 হৈছে ইয়াৰ আন দুটা মূল।
(iii) x4 - 2x3 - 26x2 + 54x - 27 বহুপদটোৰ দুটা শূন্য 3√3 আৰু -3√3। ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∵ 3√3 আৰু -3√3 ইয়াৰ দুটা মূল
∴(x - 3√3)(x + 3√3)
= x2 - 27 হৈছে ইয়াৰ এটা উৎপাদক।
এতিয়া,
∴ x2 - 2x + 1 হৈছে ইয়াৰ আন এটা উৎপাদক।
এতিয়া,
x2 - 2x + 1
= x2 - 2.x.1 + 12
= (x - 1)2
∴ x - 1 = 0 নাইবা x - 1 = 0
⇒ x = 1 নাইবা x = 1
∴ ইয়াৰ আন দুটা মূল হৈছে 1 আৰু 1
7. (i) 6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 50 বহুপদটোক আন এটা বহুপদ 3x + 7 ৰে হৰণ কৰাত ভাগশেষ - 15 পোৱা গ'ল। ভাগফল কি?
উত্তৰঃ
ইয়াত, P(x) = 6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 50
g(x) = 3x + 7
r(x) = - 15
∴ q(x) = ?
বিভাজনৰ কলন বিধি অনুসৰি
P(x) = g(x)q(x) + r(x)
⇒ 6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 50 = (3x + 7)q(x) - 15
⇒ 6x4 + 11x3 - 7x2 - 15x - 35 = (3x + 7)q(x)
এতিয়া,
2x3 - x2 - 5 হৈছে ইয়াৰ ভাগফল
(ii) এটা বহুপদক x2 - 2 ৰে ভাগ কৰাত ভাগফল আৰু ভাগশেষ ক্ৰমে 2x2 + 5x - 2 আৰু -x + 14 পোৱা গ'ল। বহুপদটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ইয়াত,
g(x) = x2 - 2
q(x) = 2x2 + 5x - 2
r(x) = - x + 14
∴ p(x) = ?
বিভাজনৰ কলন বিধি অনুসৰি
P(x) = g(x)q(x) + r(x)
= (x2 - 2)(2x2 + 5x - 2) + (- x + 14)
= 2x4 + 5x3 - 2x2 - 4x2 - 10x + 4 - x + 14
= 2x4 + 5x3 - 6x2 - 11x + 18
Post Id: DABP002680
