পাঠ ৪
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Quadratic Equation
Exercise 4.2
1. কোনটো সংখ্যাক তাৰ বৰ্গফলৰ লগত যোগ কৰিলে 156 হ'ব?
উত্তৰঃ
ধৰো, সংখ্যাটো a
এতিয়া, a2 + a = 156
⇒ a2 + a - 156 = 0
⇒ a2 + 13a - 12a - 156 = 0
⇒ a(a + 13) - 12(a + 13) = 0
⇒ (a + 13)( a - 12) = 0
∴ a + 13 = 0 বা a - 12 = 0
⇒ a = -13 বা a = 12
∴ নিৰ্ণেয় সংখ্যাদুটা (a) = -13 আৰু 12
2. দুটা ক্ৰমিক স্বাভাৱিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ যোগফল 290 হ'লে সংখ্যা দুটা কি কি?
উত্তৰঃ
ধৰো, এটা সংখ্য়া a2
∴ আনটো সংখ্যা a + 2
এতিয়া, a2 + (a + 2)2 = 290
⇒ a2 + a2 + 22 + 4a = 290
⇒ 2a2 + 4a + 4 - 290 = 0
⇒ 2a2 + 4a - 286 = 0
⇒ a2 + 2a - 143 = 0
⇒ a2 + 13a - 11a -143 =0
⇒ a(a + 13) - 11(a + 13) = 0
⇒ (a + 13)(a -11) = 0
∴ a + 13 = 0 বা a - 11 = 0
⇒ a = -13 বা a = 11
∴ নিৰ্ণেয় সংখ্যা দুটা 11 আৰু 13
3. 18. সংখ্যাটোক এনেকুৱা দুটা ধনাত্মক ভাগত ভাগ কৰা যাতে সিহঁতৰ বৰ্গৰ যোগফল ডাঙৰ অংশটোৰ 15 গুণৰ সমান হয়।
উত্তৰঃ
ধৰো, সৰু ভাগটো a আৰু ডাঙৰ ভাগটো b
প্ৰশ্নমতে,
a2 + b2 = 15b............(i)
আৰু
a + b = 18..............(ii)
⇒ b = 18 - a
(i)⇒ (18 - a)2 + a2 = 15(18 - a)
⇒ 182 + a2 - 36a + a2 - 270 + 15a = 0
⇒ 2a2 - 21a + 54 = 0
⇒ 2a2 - 9a - 12a + 54 = 0
⇒ a(2a - 9) - 6(2a - 9) = 0
⇒ (2a - 9)(a - 6) = 0
∴ 2a - 9 = 0 বা a - 6 = 0
⇒ a = 9/2 বা a = 6
∵ a ≠ 9/2
∴ ভাগ দুটা 6 আৰু 12
4. দুটা অংকৰ এটা সংখ্যাৰ অংক দুটাৰ গুণফল 12। সংখ্যাটোৰ লগত 36 যোগ কৰিলে ইয়াৰ অংক দুটাৰ স্থান সালসলনি হয়। সংখ্যাটো কি?
উত্তৰঃ
ধৰা হ'ল, দহকৰ স্থানৰ অংকটো a
∴ এককৰ স্থানৰ অংকটো হৈছে 12/a
∴ সংখ্য়াটো হৈছে = 10a + 12/a
∴ স্থান সালসলনি কৰিলে পোৱা সংখ্যাটো হৈছে = 10 x 12/a + a
প্ৰশ্নমতে,
10a + 12/a + 36 = 10 x 12/a + a
⇒ 10a + 12/a + 36 - 10 x 12/a - a = 0
⇒ 9a - 9 x 12/a + 36 = 0
⇒ a - 12/a + 4 = 0
⇒ a2 - 12 + 4a = 0 x a
⇒ a2 + 4a - 12 = 0
⇒ a2 - 2a + 6a - 12 = 0
⇒ a(a - 2) + 6(a - 2) = 0
⇒ (a - 2)(a + 6) = 0
∴ a - 2 = 0 বা a + 6 = 0
⇒ a = 2 বা a = - 6
∴ নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো
10a + 12/a
= 10 x 2 + 12/2
= 20 + 6
= 26
5. দুুটা সংখ্যাৰ যোগফল 25 আৰু সিহঁতৰ ঘনৰ যোগফল 4825, সংখ্যা দুটা কি কি?
উত্তৰঃ
ধৰো, এটা সংখ্যা a
∴ আনটো সংখ্যা 25 - a
প্ৰশ্নমতে a3 + (25 - a)3 = 4825
⇒ a3 + 15625 - a3 + 3 x 25 x a ( 25 - a) = 4825
⇒ 15625 + 1875a - 75a2 = 4825
⇒ - 75a2 + 1875a + 15625 - 4825 = 0
⇒ 75a2 - 1875a + 10800 = 0
⇒ a2 - 25a + 144 = 0
⇒ a2 - 9a - 16a + 144 =0
⇒ a(a - 9) - 16(a - 9) = 0
⇒ (a - 9)(a - 16) = 0
∴ a - 9 = 0 বা a - 16 = 0
⇒ a = 9 বা a = 16
∴ সংখ্যা দুটা 9 আৰু 25 - 9 = 16
নাইবা 16 আৰু 25 - 16 = 9
6. এখন আয়তাকাৰ ক্ষেত্ৰৰ পৰিসীমা 88 মিটাৰ আৰু ইয়াৰ কালি 420 বৰ্গমিটাৰ। আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, আয়তটোৰ দীঘ a মিটাৰ
∴ প্ৰস্থ 420/a মিটাৰ
প্ৰশ্নমতে 2(a + 420/a) = 88
⇒ a + 420/a = 44
⇒ a2 + 420 = 44a
⇒ a2 - 44a + 420 = 0
⇒ a2 - 30a - 14a + 420 = 0
⇒ a(a - 30) - 14(a - 30) = 0
⇒ (a - 30)(a - 14) = 0
∴ a - 30 = 0 বা a - 14 = 0
⇒ a = 30 বা a = 14
∴ আয়তটোৰ দীঘ (a) 30 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ = 13 মিটাৰ
নাইবা দীঘ 14 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ 30 মিটাৰ।
7. দুটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ কালিৰ সমষ্টি 225 বৰ্গ চে.মি.। এটাৰ বাহুৰ দীঘ আনটোতকৈ 3 চে.মি. বেছি। বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, এটা বৰ্গৰ বাহু a
∴ আনটো বৰ্গৰ বাহু a - 3
প্ৰশ্নমতে a2 + (a - 3)2 = 225
⇒ a2 + a2 + 9 - 6a = 225
⇒ 2a2 - 6a - 216 = 0
⇒ a2 - 3a - 108 = 0
⇒ a2 - 12a + 9a - 108 = 0
⇒ a(a - 12) + 9(a - 12) = 0
⇒ (a - 12)(a + 9) = 0
∴ a - 12 = 0 বা a + 9 = 0
⇒ a = 12 বা a = - 9
∴ ডাঙৰ বৰ্গটোৰ বাহু 12cm আৰু সৰুটোৰ বাহু (12 - 3)cm = 9cm
8. এখন দীঘল কাপোৰৰ দাম 440 টকা। যদি কাপোৰ আৰু 1 মিটাৰ দীঘল হ'লহেতেন তেতিয়া প্ৰতিমিটাৰত 4 টকা কম দৰত কিনা হ'লেও দাম একেই পৰিলহেঁতেন। কাপোৰখন কিমান দীঘল আছিল?
উত্তৰঃ
ধৰো, কাপোৰখনৰ দীঘ a মিটাৰ।
∴ 1 মিটাৰৰ দাম = 440/a টকা।
আকৌ নতুন দৈৰ্ঘ্য = a + 1 মিটাৰ
∴ 1 মিটাৰৰ নতুন দাম = 440/a + 1
প্ৰশ্নমতে,
9. কেইজনমান শ্ৰমিকৰ মাজত 1500 টকা সমানে ভগাই দিয়া হ'ল। যদি 5 জন শ্ৰমিক বেছি হ'লহেতেন তেন্তে প্ৰতিজনে গাই পতি 15 টকাকৈ কম পালেহেঁতেন। শ্ৰমিক কেইজন আছিল।
উত্তৰঃ
ধৰো, শ্ৰমিক আছিল a জন।
∴ প্ৰতিজনৰে ভাগ = 1500/a
আকৌ,
নতুন শ্ৰমিকৰ সংখ্যা a + 5
∴ প্ৰতিজনৰে ভাগ = 1500/a + 5
প্ৰশ্নমতে,
10. মান উলিওৱাঃ
Post Id:DABP002524
