পাঠ ৫
সমান্তৰ প্ৰগতি
Arithmetic Progression
Exercise 5.1
1. তলৰ পৰিস্থিতিবিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যাৰ তালিকাবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব?
(i) প্ৰথম কিলোমিটাৰত টেক্সি ভাড়া 15 টকা আৰু তাৰ পিছত তাৰ পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ'লে প্ৰতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিৰ ভাড়া।
উত্তৰঃ ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব।
সমান্তৰ প্ৰগতিটো হৈছে 一
15, 23, 31, 39, 47,.......
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ 1/4 অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
আয়তন সমূহ 一 v, 3v/4, 2v/4, v/4, 0
(iii) এটা কুঁৱা খান্দোতে প্ৰথম মিটাৰৰ খৰচ 150 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিমিটাৰত 50 টকাকৈ লাগিলে প্ৰতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ।
উত্তৰঃ ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব।
সমান্তৰ প্ৰগতিটো হৈছে 一 150, 200, 250, 300, 350,........
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্ৰ সুতৰ হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউণ্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনাৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ ই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে।
সবৃদ্ধিমূলসমূহ হৈছে 一
2. যদি প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্ৰতিটো AP ৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখাঃ
(i) a = 10, d = 10
উত্তৰঃ
AP = a, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d
= 10, 10 + (2 - 1)10, 10 + (3 - 1)10, 10 + (4 - 1)10
= 10, 10 + 10, 10 + 2.10, 10 + 3.10
= 10, 20, 10 + 20, 10 + 30
= 10, 20, 30, 40
(ii) a = -2, d = 0
উত্তৰঃ
AP = a, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d
= -2, -2 + (2 - 1)0, -2 + (3 - 1)0, -2 + (4 - 1)0
= -2, -2, -2, -2
(iii) a = 4, d = -3
উত্তৰঃ
AP = a, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d
= 4, 4 + (2 - 1)(-3), 4 + (3 - 1)(-3), 4 + (4 - 1)(-3)
= 4, 4 - 3, 4 - 6, 4 - 9
= 4, 1, -2, -5
(iv) a = -1, d = 1/2
উত্তৰঃ
AP = a, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d
= -1, -1 + (2 - 1)(1/2), -1 + (3 - 1)(1/2), -1 + (4 - 1)(1/2)
= -1, -1 + 1/2, -1 + 1, -1 + 3/2
= -1, -1/2, 0, 1/2
(v) a = -1.25, d = - 0.25
উত্তৰঃ
AP = a, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d, a + (n - 1)d
= -1.25, -1.25 + (2 - 1)(-0.25), -1.25 + (3 - 1)(-0.25), -1.25 + (4 - 1)(-0.25)
= -1.25, -1.25 - 0.25, -1.25 - 0.50, -1.25 - 0.75
= -1.25, -1.50, -1.75, -2.00
3. তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 3, 1, -1, -3, .........
উত্তৰঃ
ইয়াত প্ৰথম পদ a = 3
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = 1 - 3 = -2
(ii) -5, -1, 3, 7, .......
উত্তৰঃ
ইয়াত প্ৰথম পদ a = -5
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = -1 - (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3
উত্তৰঃ
ইয়াত প্ৰথম পদ a = 1/3
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = 5/3 - 1/3 = 4/3
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, .......
উত্তৰঃ
ইয়াত প্ৰথম পদ a = 0.6
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d = 1.7 - 0.6 = 1.1
4. তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে? যিবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয কৰা আৰু পৰবৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 2, 4, 8, 16, ..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ =4 - 2 = 2
তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 8 - 4 = 4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(ii) 2, 5/2, 3, 7/2, .........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 5/2 - 2 = 1/2
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 3 - 5/2 = 1/2
অৰ্থাৎ d = 1/2
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = 2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ ইয়াৰ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= 2 + 4x(1/2), 2 + 5x(1/2) আৰু 2 + 6x(1/2)
= 2 + 2, 2 + 5/2 আৰু 2 + 3
= 4, 9/2 আৰু 5
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ...........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = -3.2 - (-1.2) = -3.2 + 1.2 = -2
আৰু তৃতীয় পদ - প্ৰথম পদ = -5.2 - (-3.2) = -5.2 + 3.2 = -2
অৰ্থাৎ d = -2
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = -1.2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী পদ তিনিটা হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= -1.2 + 4.(-2), -1.2 + 5(-2) আৰু -1.2 + 6(-2)
= -1.2 - 8, -1.2 - 10 আৰু -1.2 - 12
= -9.2, -11.2 আৰু -13.2
(iv) -10, -6, -2, 2,..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4
অৰ্থাৎ d = 4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = -10 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= -10 + 4.4, -10 + 5.4 আৰু -10 + 6.4
= -10 + 16, -10 + 20 আৰু -10 + 24
= 6, 10 আৰু 14
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 3 + √2 - 3 = √2
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 3 + 2√2 - (3 + √2) = 3 + 2√2 - 3 - √2 = √2
অৰ্থাৎ d = √2
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = 3 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= 3 + 4√2, 3 + 5√2 আৰু 3 + 6√2
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ...........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 0.22 - 0.2 = 0.02
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 0.222 - 0.22 = 0.002
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(vii) 0, -4, -8, -12, ............
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = -4 - 0 = -4
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = -8 - (-4) = -8 + 4 = -4
অৰ্থাৎ d = -4
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = 0 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= 0 + 4(-4), 0 + 5(-4) আৰু 0 + 6(-4)
= -16, -20 আৰু -24
(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, ..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = -1/2 - (-1/2) = -1/2 + 1/2 = 0
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = -1/2 - (-1/2) = -1/2 + 1/2 = 0
অৰ্থাৎ d = 0
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = -1/2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= -1/2 + 4.0, -1/2 + 5.0 আৰু -1/2 + 6.0
= -1/2, -1/2 আৰু -1/2
(ix) 1, 3, 9, 27
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 3 - 1 = 2
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 9 - 3 = 6
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(x) a, 2a, 3a, 4a, ..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 2a - a = a
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 3a - 2a = a
অৰ্থাৎ d = a
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = a আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= a + 4a, a + 5a আৰু a + 6a
= 5a, 6a আৰু 7a
(xi) a, a2, a3, a4, ...........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = a2 - a
তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = a3 - a2
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(xii) √2, √8, √18, √32, ...........
= √2, 2√2, 3√2, 4√2, ...........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 2√2 - √2 = √2
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 3√2 - 2√2 = √2
অৰ্থাৎ d = √2
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = √2 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= √2 + 4√2, √2 + 5√2 আৰু √2 + 6√2
= 5√2, 6√2, 7√2
= √50, √72 আৰু √98
(xiii) √3, √6, √9, √12, ............
= √3, √(2x3), 3, 2√3, ..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = √(2x3) - √3
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 3 - √(2x3)
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(xiv) 12, 32, 52, 72, ........
= 1, 9, 25, 49, ........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 9 - 1 = 8
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 25 - 9 = 16
∴ ই সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(xv) 12, 52, 72, 73, ..........
= 1, 25, 49, 73, ..........
উত্তৰঃ
ইয়াত দ্বিতীয় পদ - প্ৰথম পদ = 25 - 1 = 24
আৰু তৃতীয় পদ - দ্বিতীয় পদ = 49 - 25 = 24
অৰ্থাৎ d = 24
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে।
∵ ইয়াৰ প্ৰথম পদ a = 1 আৰু 4 টা পদ দিয়া আছে
∴ পৰবৰ্তী তিনিটা পদ হৈছে 一
a + 4d, a + 5d আৰু a + 6d
= 1 + 4.24, 1 + 5.24 আৰু 1 + 6.24
= 1 + 96, 1 + 120 আৰু 1 + 144
= 97, 121 আৰু 145
