পাঠ ৪
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Quadratic Equation
Exercise 4.2
1. উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা।
(i) x2 - 3x - 10 = 0
⇒ x2 - 5x + 2x - 10 = 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x + 2) = 0
⇒ x - 5 = 0 নাইবা x + 2 = 0
⇒ x = 5 নাইবা x = -2
(ii) 2x2 + x - 6 = 0
⇒ 2x2 + 4x - 3x - 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x - 3) = 0
⇒ x + 2 = 0 নাইবা 2x - 3 = 0
⇒ x = -2 নাইবা x = 3/2
(iii) √2x2 + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x2 +2x + 5x + 5√2 = 0
⇒ √2x(x + √2) + 5(x + √2) = 0
⇒ (x + √2)(√2x + 5) = 0
⇒ x + √2 = 0 নাইবা √2x + 5 = 0
⇒ x = -√2 নাইবা x = 5/√2
(iv) 2x2 - x + 1/8 = 0
⇒ 16x2 - 8x + 1 = 0
⇒ 16x2 - 4x - 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0
⇒ (4x - 1)(4x - 1) = 0
⇒ 4x - 1 = 0 নাইবা 4x - 1 = 0
⇒ x = 1/4 নাইবা x = 1/4
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
⇒ (10x)2 - 2.10x.1 + 12 = 0
⇒ (10x - 1)2
⇒ 10x - 1 = 0
⇒ x = 1/10
(vi) 2x2 - 7x + 6 = 0
⇒ 2x2 - 4x - 3x + 6 = 0
⇒ 2x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
⇒ (x - 2)(2x - 3) = 0
⇒ x - 2 = 0 নাইবা 2x - 3 = 0
⇒ x = 2 নাইবা x = 3/2
(vii) x2 - 10x - 96 = 0
⇒ x2 + 6x - 16x - 96 = 0
⇒ x(x + 6) - 16(x + 6) = 0
⇒ (x + 6)(x - 16) = 0
⇒ x + 6 = 0 নাইবা x - 16 = 0
⇒ x = -6 নাইবা x = 16
(viii) √3x2 + 10x +7√3 = 0
⇒ √3x2 + 3x + 7x + 7√3 = 0
⇒ √3x( x + √3) + 7(x + √3) = 0
⇒ (x + √3)(√3x + 7) = 0
⇒ x + √3 = 0 নাইবা √3x + 7 = 0
⇒ x = -√3 নাইবা x = 7/√3
(ix) x2 + 2√2x + 2 = 0
⇒ x2 + √2x + √2x + 2 = 0
⇒ x(x + √2) + √2(x + √2) = 0
⇒ (x + √2)(x + √2) = 0
⇒ x + √2 = 0 নাইবা x + √2 = 0
⇒ x = -√2 নাইবা x = -√2
(x) 14x + 5 - 3x2 = 0
⇒ 3x2 - 14x - 5 = 0
⇒ 3x2 - 15x + x - 5 = 0
⇒ 3x(x - 5) + 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(3x + 1) = 0
⇒ x - 5 = 0 নাইবা 3x + 1 = 0
⇒ x = 5 নাইবা x = -1/3
2. উদাহৰণ 1 ত দিয়া সমস্যা দুটা সমাধান কৰা।
(i) জন আৰু জয়ন্তী দুয়োৰে 45 টা মাৰ্বল আছে। তেওঁলোকৰ প্ৰত্যেকে 5 টাকৈ মাৰ্বল হেৰালে এতিয়া তেওঁলোকৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল 124। আমি উলিয়াব লাগে, আৰম্ভণিতে তেওঁলোকৰ কেইটাকৈ মাৰ্বল আছিল।
উত্তৰঃ ধৰো, জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা a
∴ জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা 45 - a
প্ৰশ্নমতে, (a - 5)(45 - a - 5) = 124
⇒ (a - 5)(40 - a) - 124 = 0
⇒ 40*8a - a2 - 200 + 5a - 124 = 0
⇒ a2 - 45a + 324 = 0
⇒ a2 - 9a - 36a + 324 = 0
⇒ a(a - 9) - 36(a - 9) = 0
⇒ (a - 9)(a - 36) = 0
⇒ a - 9 = 0 নাইবা a - 36 = 0
⇒ a = 9 নাইবা a = 36
∴ জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা a = 9 টা
আৰু জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সখ্যা 45 - a = 45 - 9 = 36 টা।
আকৌ, জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা a = 36 টা
আৰু জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা 45 - a = 45 - 36 = 9 টা।
(ii) এটা কুটীৰ শিল্পই এদিনত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক পুতলা তৈয়াৰ কৰে। দেখা গ'ল প্ৰতিটো পুতলা উৎপাদনৰ খৰছ 55 বিয়োগ এদিনত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা। এটা বিশেষ দিনত সমুদায় উৎপাদনৰ খৰছ 750। আমি নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সিদিনাখন উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ
ধৰো, সেই বিশেষ দিনটোত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা a
∴ প্ৰতিটো পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ = 55 - a
প্ৰশ্নমতে a(55 - a) = 750
⇒ 55a - a2 = 750 = 0
⇒ a2 - 55a + 750 = 0
⇒ a2 - 50a - 15a + 750 = 0
⇒ a(a - 50) - 15(a - 50) = 0
⇒ (a - 50)(a - 15) = 0
⇒ a - 50 = 0 নাইবা a - 15 = 0
⇒ a = 50 নাইবা a = 15
∴ সেইদিনা উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা a = 50 টা বা a = 15 টা।
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182।
উত্তৰঃ ধৰো, এটা সংখ্যা a
∴ আনটো সংখ্যা 27 - a
প্ৰশ্নমতে,
a(27 - a) = 182
⇒ 27a - a2 - 182 = 0
⇒ a2 - 27a + 182 = 0
⇒ a2 - 14a - 13a + 182 = 0
⇒ a(a - 14) - 13(a - 14) = 0
⇒ (a - 14)(a - 13) = 0
⇒ a - 14 = 0 নাইবা a - 13 = 0
⇒ a = 14 নাইবা a = 13
∴ সংখ্যা দুটা 14 আৰু 13
4. দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365।
উত্তৰঃ ধৰো, সৰু সংখ্যাটো a
∴ ডাঙৰ সংখ্যা a + 1
প্ৰশ্নমতে a2 + (a + 1)2 = 365
⇒ a2 + a2 + 2a + 1 - 365 = 0
⇒ 2a2 + 2a - 364 = 0
⇒ a2 + a - 182 = 0
⇒ a2 + 14a - 13a - 182 = 0
⇒ a(a + 14) - 13(a + 14) = 0
⇒ (a + 14)(a - 13) = 0
⇒ a + 14 = 0 নাইবা a - 13 = 0
⇒ a = -14 (অসম্ভৱ) নাইবা a = 13
∴ সংখ্যা দুটা হৈছে a = 13 আৰু a + 1 = 14
5. এটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 চে.মি. কম। যদি অতিভূজটো 13 চে.মি. অইন বাহু দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰো, ত্ৰিভূজটোৰ ভূমি a
∴ ত্ৰিভূজটোৰ উচ্চতা a - 7
প্ৰশ্নমতে,
a2 + (a - 7)2 = 132
⇒ a2 + a2 + 49 - 14a - 169 = 0
⇒ 2a2 - 14a - 120 = 0
⇒ a2 - 7a - 60 = 0
⇒ a2 - 12a + 5a - 60 = 0
⇒ a(a - 12) + 5(a - 12) = 0
⇒ (a - 12)(a + 5) = 0
⇒ a - 12 = 0 নাইবা a + 5 = 0
⇒ a = 12 নাইবা a = -5 (অসম্ভৱ)
∴ ত্ৰিভূজটোৰ ভূমি a = 12cm
আৰু ত্ৰিভূজটোৰ উচ্চতা a - 7 = 12 - 7 = 5cm
6. এটা কুটীৰ শিল্পই দৈনিক এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যাক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে। এদিন দেখা গ'ল যে প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ 3 বেছি। যদি সিদিনাৰ উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ'ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, সেইদিনা উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা a
প্ৰশ্নমতে,
a(2a + 3) = 90
⇒ 2a2 + 3a - 90 = 0
⇒ 2a2 + 15a - 12a - 90 = 0
⇒ a(2a + 15) - 12(a + 15) = 0
⇒ (2a + 15)(a - 12) = 0
⇒2a + 15 = 0 নাইবা a - 12 = 0
⇒ a = -15/2 (অসম্ভৱ) a = 12
∴ সেইদিনা উৎপাদন হোৱা বস্তুৰ সংখ্যা a = 12
আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় = 2a + 3 = 27 টকা।
Post ID : DABP003963
