পাঠ ৪
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Quadratic Equation
Exercise 4.3
1. বৰ্গ সম্পূৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰ মূল (যদি বৰ্তে) উলিওৱা।
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
⇒ 16x2 - 56x + 24 = 0
⇒ (4x)2 - 2.4x.7 + 72 - 72 + 24 = 0
⇒ (4x - 7)2 = 25
⇒ 4x - 7 = ±√25
⇒ 4x = ±5 + 7
⇒ x = 12/4 = 3
নাইবা x = 2/4 = 1/2
(ii) 2x2 + x - 4 = 0
⇒ 16x2 + 8x - 32 = 0
⇒ (4x)2 + 2.4x.1 + 12 - 12 - 32 = 0
⇒ (4x + 1)2 = 33
⇒ 4x + 1 = ±√33
⇒ 4x = ±√33 - 1
⇒ x = (√33 - 1)/4
নাইবা x = (-√33 - 1)/4
(iii) 4x2 + 4√3 + 3 = 0
⇒ (2x2) + 2.2x.√3 + (√3)2 = 0
⇒ (2x + √3) = 0
⇒ 2x + √3 = 0
⇒ x = -√3/2
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
ইয়াৰ মূল নাই।
(v) x2 + 4x + 1 = 0
⇒ 4x2 + 16x + 1 = 0
⇒ (2x)2 + 2.2x.4 + 42 - 42 + 1 = 0
⇒ (2x + 4)2 = 15
⇒ 2x + 4 = ±√15
⇒ 2x = ±√15 - 4
⇒ x = (√15 - 4)/2
নাইবা x = -√15 - 4
(vi) 4x2 + x - 3 = 0
2. দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি ওপৰৰ প্ৰশ্ন-1 ত দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 2x2 - 7x + 3 = 0
⇒ 2x2 - 6x - x + 3 = 0
⇒ 2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x - 1) = 0
⇒ x - 3 = 0 নাইবা 2x - 1 = 0
⇒ x = 3 নাইবা x = 1/2
(iii) 4x2 + 4√3x + 3 = 0
⇒ 4x2 + 2√3x + 2√3x + 3 = 0
⇒ 2x(2x + √3) + √3(2x + √3) = 0
⇒ (2x + √3)(2x + √3) = 0
⇒ (2x + √3)2 = 0
⇒ 2x + √3 = 0
⇒ 2x = -√3
⇒ x = -√3/2
(iv) 2x2 + x + 4 = 0
ইয়াৰ মূল নাই।
(vi) 4x2 + x - 3 = 0
⇒ 4x2 + 4x - 3x - 3 = 0
⇒ 4x(x + 1) - 3(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(4x - 3) = 0
⇒ x + 1 = 0 নাইবা 4x - 3 = 0
⇒ x = -1 নাইবা x = 3/4
3. তলৰ সমীকৰণবোৰৰ মূল উলিওৱাঃ
(i) x - 1/x = 3 x ≠ 0
4. আজিৰ পৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰমবোৰৰ যোগফল 1/3। তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, ৰহমান ৰ বৰ্তমান বয়স x বছৰ।
প্ৰশ্নমতে,
5. এটা শ্ৰেণী-পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30। তাই যদি গণিতত আৰু 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত আৰু 3 নম্বৰ কম পালেহেনে, এই নম্বৰ দুটাৰ পূৰণফল 210 হ'লহেতেন। তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, গণিতত পোৱা নম্বৰ = x
∴ ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - x
প্ৰশ্নমতে,
(x + 2)(30 - x - 3) = 210
⇒ (x + 2)(27 - x) = 210
⇒ 27x - x2 + 54 - 2x = 210
⇒ - x2 + 25x + 54 - 210 = 0
⇒ x2 - 25x + 156 = 0
⇒ x2 - 12x - 13x + 156 = 0
⇒ x(x - 12) - 13(x - 12) = 0
⇒ (x - 12)(x - 13) =0
⇒ x - 12 = 0 নাইবা x - 13 = 0
⇒ x = 12 নাইবা x = 13
যদি গণিতত পোৱা নম্বৰ x = 12 নম্বৰ
∴ ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - x = 30 - 12 = 18 নম্বৰ
আকৌ, যদি গণিতত পোৱা নম্বৰ x = 13 নম্বৰ
∴ ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - x = 30 - 10 = 17 নম্বৰ
6. এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বাহুতকৈ 60 মিটাৰ বেছি। যদি দীঘল বাহুটো চুটি বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি, পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, চুটি বাহুটোৰ দীঘ x
∴ কৰ্ণৰ দীঘ x + 60
আৰু দীঘল বাহুটো x + 30
এতিয়া,
(কৰ্ণ)2 = (চুটি বাহু)2 + (দীঘল বাহু)2
⇒ (x + 60)2 = x2 + (x + 30)2
⇒ x2 + 2.x.60 + 602 = x2 + x2 + 2.x.30 + 302
⇒ x2 + 120x + 3600 - 2x2 - 60x - 900 = 0
⇒ - x2 + 60x + 2700 = 0
⇒ x2 - 60x - 2700 = 0
⇒ x2 + 30x - 90x - 2700 = 0
⇒ x(x + 30) - 90(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 90) = 0
⇒ x + 30 = 0 নাইবা x - 90 = 0
⇒ x = -30 (অসম্ভৱ) x = 90
∴ পথাৰখনৰ চুটি বাহুটো x = 90 m
আৰু দীঘল বাহুটো x + 30 = 90 + 30 = 120 m
7. দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ 8 গুণ। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰো, ডাঙৰ সংখ্যাটো a
∴ সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গফল 8a
প্ৰশ্নমতে,
a2 - 8a = 180
⇒ a2 - 8a - 180 = 0
⇒ a2 - 18a + 10a - 180 = 0
⇒ a(a - 18) + 10(a - 18) = 0
⇒ (a - 18)(a + 10) = 0
⇒ a - 18 = 0 নাইবা a + 10 = 0
⇒ a = 18 নাইবা a = -10
∴ ডাঙৰ সংখ্যাটো a = 18
আৰু সৰু সংখ্যাটো = √(18 x 8)= 2 x 2 x 3 = 12
8. এখন ৰে'লগাড়ীয়ে সমান দ্ৰুতিত 360 কি.মি. ভ্ৰমণ কৰে। যদি ইয়াৰ দ্ৰুতি ঘণ্টাত 5 কি.মি. বেছি হ'লহেতেন, ই একোটা ভ্ৰমণৰ সময় আৰু 1 ঘণ্টা কম ল'লেহেতেন।
উত্তৰঃ
ধৰো, প্ৰথম অৱস্থাত ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি x km/h
9. দুটা পানীৰ নলীয়ে এটা চৌবাচ্চা 9 3/8 ঘণ্টাত পূৰ কৰে। চৌবাচ্চাটো বেলেগে বেলেগে পূৰ কৰিবলৈ হ'লে ডাঙৰ ব্যাসৰ নলীটোৱে সৰু ব্যাসৰ নলীটোতকৈ 10 ঘণ্টা সময় কম লয়। প্ৰত্যেকটো নলীয়ে বেলেগে বেলেগে কিমান সময়ত চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, সৰু নলীটোৰে পূৰ কৰিবলৈ a সময় লাগে
∴ ডাঙৰ নলীটোৰে পূৰ কৰিবলৈ a - 10 সময় লয়।
10. মহীশূৰ আৰু বাংগালোৰৰ মাজত 132 কি.মি. পথ ভ্ৰমণ কৰিবলৈ এখন দ্ৰুতবেগী ৰে'লগাড়ী এখন যাত্ৰিবাহী ৰে'লগাড়ীখনতকৈ 1 ঘণ্টা সময় লয়। যদি দ্ৰুতবেগী ৰে'লগাড়ীখনৰ গড় দ্ৰুতি যাত্ৰিবাহী ৰে'লখনতকৈ ঘণ্টাত 11 কি.মি. বেছি, ৰে'লগাড়ী দুখনৰ গড় দ্ৰুতি উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, দ্ৰুতবেগী ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি a KM/h
∴ যাত্ৰিবাহী ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি (a - 11) KM/h
প্ৰশ্নমতে,
11. দুটা বৰ্গৰ কালিৰ যোগফল 468 বৰ্গমিটাৰ। যদি সিহঁতৰ পৰিসীমাৰ পাৰ্থক্য 24 মিটাৰ, বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ পৰিমাণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, ডাঙৰ বৰ্গটোৰ বাহু
