Chapter 3

                                                  సామాన్య సమీకరణాలు


అభ్యాస ప్రశ్నలు మరియు సమాధానాలు (భాగం – 1)

ప్రశ్న 1: సగటు (Mean) అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: గణాంక శాస్త్రంలో, ఒక సమూహంలోని అన్ని విలువలను కలిపి, మొత్తం సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చే విలువను సగటు అంటారు.

ప్రశ్న 2: మాధ్యక (Median) నిర్వచనం చెప్పండి.
సమాధానం: ఒక క్రమబద్ధీకరించిన డేటా సెట్‌లో మధ్యలో వచ్చే విలువను మాధ్యక అంటారు.

ప్రశ్న 3: బాహుళకం (Mode) ఏమిటి?
సమాధానం: ఒక డేటా సెట్‌లో ఎక్కువ సార్లు కనిపించే విలువను బాహుళకం అంటారు.

ప్రశ్న 4: 5, 7, 9, 11, 13 యొక్క సగటు కనుగొనండి.
సమాధానం: (5+7+9+11+13)/5 = 45/5 = 9. సగటు = 9.

ప్రశ్న 5: 8, 12, 15, 20 యొక్క మాధ్యక ఎంత?
సమాధానం: క్రమంలో = 8, 12, 15, 20. మధ్యలో రెండు విలువలు 12, 15 → (12+15)/2 = 13.5.

ప్రశ్న 6: 2, 4, 4, 5, 7, 7, 7 లో బాహుళకం ఏమిటి?
సమాధానం: ఎక్కువసార్లు వచ్చిన సంఖ్య = 7. కాబట్టి Mode = 7.

ప్రశ్న 7: Mean > Median > Mode అనేది సాధారణంగా ఏ తరహా distribution లో ఉంటుంది?
సమాధానం: Right-skewed (positively skewed) distribution లో.

ప్రశ్న 8: ఒక తరగతిలో 30 మంది విద్యార్థుల సగటు మార్కులు 50. మొత్తం మార్కులు ఎంత?
సమాధానం: 30 × 50 = 1500.

ప్రశ్న 9: 10, 20, 30, 40, 50 లో మాధ్యక ఎంత?
సమాధానం: మధ్య విలువ = 30.

ప్రశ్న 10: 60, 70, 80, 90 యొక్క సగటు కనుగొనండి.
సమాధానం: (60+70+80+90)/4 = 300/4 = 75.

ప్రశ్న 11: Frequency distribution అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: ఒక డేటా సెట్‌లో ప్రతి విలువ ఎంతసార్లు వచ్చినదో చూపించే పట్టికను Frequency distribution అంటారు.

ప్రశ్న 12: Range నిర్వచనం చెప్పండి.
సమాధానం: ఒక డేటా సెట్‌లో అత్యధిక విలువ – కనిష్ఠ విలువ = Range.

ప్రశ్న 13: 5, 8, 12, 20 లో Range ఎంత?
సమాధానం: 20 – 5 = 15.

ప్రశ్న 14: మాధ్యక కనుగొనడం కోసం అవసరమైన దశలు చెప్పండి.
సమాధానం: మొదట డేటాను ascending order లో పెట్టాలి, తర్వాత మధ్యలోని observation తీసుకోవాలి. even observations అయితే రెండు మధ్య విలువల సగటు తీసుకోవాలి.

ప్రశ్న 15: Mode ఎందుకు representative value గా ఉపయోగిస్తారు?
సమాధానం: ఎందుకంటే అది dataset లో ఎక్కువగా వచ్చిన విలువను సూచిస్తుంది, అందువల్ల సామాన్య ధోరణిని చూపుతుంది.

ప్రశ్న 16: Mean యొక్క ముఖ్య లోపం ఏమిటి?
సమాధానం: Extreme values (అతి ఎక్కువ లేదా తక్కువ values) Mean ను ఎక్కువగా ప్రభావితం చేస్తాయి.

ప్రశ్న 17: 2, 4, 6, 8, 100 లో సగటు మరియు మాధ్యక చెప్పండి.
సమాధానం: Mean = (120/5)=24, Median = 6. Mean ని extreme value (100) ప్రభావితం చేసింది.

ప్రశ్న 18: Histogram అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Continuous data యొక్క frequency distribution ని చూపించడానికి rectangles తో గీసిన గ్రాఫ్ ను Histogram అంటారు.

ప్రశ్న 19: Bar diagram మరియు Histogram మధ్య తేడా ఏమిటి?
సమాధానం: Bar diagram లో bars మధ్య gap ఉంటుంది, discrete data కోసం వాడతారు. Histogram లో gap ఉండదు, continuous data కోసం వాడతారు.

ప్రశ్న 20: Pie diagram ను ఎక్కడ ఉపయోగిస్తారు?
సమాధానం: మొత్తం ఒక unit గా తీసుకొని, దాని భాగాలను శాతం ప్రకారం వృత్తంలో చూపించడానికి Pie diagram వాడతారు.

ప్రశ్న 21: Arithmetic Mean సూత్రం ఏమిటి?
సమాధానం: Mean = Σx / n.

ప్రశ్న 22: Weighted mean అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: ప్రతి విలువకు వేర్వేరు weights ఇచ్చి, వాటి ఆధారంగా సగటు కనుగొనడాన్ని Weighted mean అంటారు.

ప్రశ్న 23: Median ఎందుకు better representative value అవుతుంది?
సమాధానం: ఎందుకంటే extreme values Median ను ప్రభావితం చేయవు.

ప్రశ్న 24: ఒక dataset లో రెండు Modes ఉంటే దాన్ని ఏమంటారు?
సమాధానం: Bimodal distribution అంటారు.

ప్రశ్న 25: Quartiles నిర్వచించండి.
సమాధానం: Data ను నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించే విలువలను Quartiles అంటారు.

ప్రశ్న 26: Deciles అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Data ను పది సమాన భాగాలుగా విభజించే విలువలను Deciles అంటారు.

ప్రశ్న 27: Percentiles అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Data ను వంద సమాన భాగాలుగా విభజించే విలువలను Percentiles అంటారు.

ప్రశ్న 28: ఒక distribution లో Mean = 20, Median = 18 ఉంటే Mode ≈ ? (Empirical relation ఉపయోగించండి)
సమాధానం: Mode ≈ 3Median – 2Mean = 3(18) – 2(20) = 54 – 40 = 14.

ప్రశ్న 29: Cumulative frequency అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Frequency values ని కలుపుకుంటూ వెళ్ళితే వచ్చే మొత్తం values ని cumulative frequency అంటారు.

ప్రశ్న 30: Ogive diagram ఏమి చూపిస్తుంది?
సమాధానం: Cumulative frequency distribution ని curve రూపంలో చూపిస్తుంది.

ప్రశ్న 31: Central tendency measures అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: ఒక dataset యొక్క కేంద్ర విలువ లేదా representative value చూపించే measures (Mean, Median, Mode) ను Central tendency measures అంటారు.

ప్రశ్న 32: Mean ఎప్పుడు సరైనది కాదు?
సమాధానం: Skewed data, extreme values ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు సరైనది కాదు.

ప్రశ్న 33: ఒక dataset లో Q1 = 20, Q3 = 60 ఉంటే Interquartile range ఎంత?
సమాధానం: Q3 – Q1 = 60 – 20 = 40.

ప్రశ్న 34: Standard deviation ఎందుకు వాడతారు?
సమాధానం: డేటా values ఎంత వరకు Mean నుండి దూరంగా ఉన్నాయో కొలవడానికి.

ప్రశ్న 35: Variance అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Mean నుండి deviations ని square చేసి, average తీసుకోవడం.

ప్రశ్న 36: ఒక dataset లో అన్ని values సమానంగా ఉంటే Variance ఎంత?
సమాధానం: Variance = 0.

ప్రశ్న 37: Skewness అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Distribution symmetric కాకుండా ఒక వైపు లాగబడిన స్థితిని Skewness అంటారు.

ప్రశ్న 38: Positive skew లో ఏ relation ఉంటుంది?
సమాధానం: Mean > Median > Mode.

ప్రశ్న 39: Negative skew లో ఏ relation ఉంటుంది?
సమాధానం: Mode > Median > Mean.

ప్రశ్న 40: Probability యొక్క కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ విలువలు ఏమిటి?
సమాధానం: కనిష్ఠ = 0, గరిష్ఠ = 1.

ప్రశ్న 41: ఒక unbiased die వేసినప్పుడు 4 రావడానికి probability ఎంత?
సమాధానం: 1/6.

ప్రశ్న 42: Playing cards లో మొత్తం ఎన్ని cards ఉంటాయి?
సమాధానం: 52.

ప్రశ్న 43: ఒక deck లో ఎన్ని hearts ఉంటాయి?
సమాధానం: 13.

ప్రశ్న 44: ఒక deck లో black cards ఎన్ని?
సమాధానం: 26.

ప్రశ్న 45: ఒక coin వేసినప్పుడు head రావడానికి probability ఎంత?
సమాధానం: 1/2.

ప్రశ్న 46: Mean deviation అంటే ఏమిటి?
సమాధానం: Mean లేదా Median నుండి deviations యొక్క average (without sign).

ప్రశ్న 47: ఒక dataset లో outliers ఉంటే, ఏ measure మంచిది?
సమాధానం: Median.

ప్రశ్న 48: Mode ఏ సందర్భాలలో ఉపయోగకరమైంది?
సమాధానం: మార్కెట్ demand, consumer choice వంటి సందర్భాలలో.

ప్రశ్న 49: ఒక data symmetric గా ఉన్నప్పుడు Mean, Median, Mode మధ్య relation ఏమిటి?
సమాధానం: Mean = Median = Mode.

ప్రశ్న 50: Variability measures ఎందుకు అవసరం?
సమాధానం: డేటా values Mean చుట్టూ ఎంత వరకు విస్తరించి ఉన్నాయో చూపించడానికి.

Answer by Mrinmoee