Chapter-3
সত্য় ফলন আৰু সত্য় সূচী পদ্ধত
1 Mark Questions & Answers
প্রশ্ন ১। সত্যৰ ফলন কি?
উত্তৰঃ লজিকেল সংযোগকাৰীৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি বিবৃতিসমূহত সত্য মান নিযুক্ত কৰা এটা ফাংচন।
প্রশ্ন ২। সত্যৰ টেবুল কি?
উত্তৰঃ বিবৃতিৰ সকলো সম্ভাব্য সত্য মান দেখুওৱা এখন টেবুল।
প্রশ্ন ৩। যুক্তিসংগত সংযোগী কি কি?
উত্তৰঃ- ,/ ০$ * ৰ দৰে চিহ্ন।
প্রশ্ন ৪। সংযোগ (p/q) ৰ অৰ্থ কি?
উত্তৰঃ দুয়োটা সঁচা হ'ব লাগিব।
প্রশ্ন ৫। সত্যৰ তালিকা কিয় নির্মাণ কৰা হয়?
উত্তৰঃ বৈধতা আৰু যুক্তিসংগত সম্পৰ্ক পৰীক্ষা কৰিবলৈ।
প্রশ্ন ৬। ইপ্লিকেচন (ps q) ৰ অৰ্থ কি?
উত্তৰঃ p সঁচা হ'লে ৭ও সত্য হ'ব লাগিব।
প্রশ্ন ৭। সত্যৰ টেবুলবোৰ কিয় গুৰুত্বপূৰ্ণ?
উত্তৰঃ যুক্তি বিশে-ষণৰ এক পদ্ধতিগত উপায় দিয়ে।
প্রশ্ন ৮। যুক্তিৰ বৈধতা কেনেকৈ পৰীক্ষা কৰা হয়?
উত্তৰঃ চৰ্ত আৰু সিদ্ধান্তৰ সত্য তালিকাৰ দ্বাৰা।
প্রশ্ন ৯। বৈপৰীত্য কি?
উত্তৰঃ সকলো ক্ষেত্ৰতে সদায় মিছা।
প্রশ্ন ১০। যুক্তি কেতিয়া বৈধ?
উত্তৰঃ যদি সিদ্ধান্ত সত্য হয় যেতিয়াই চর্ত সত্য হয়।
2/3 Marks-20 Questions & Answers:
প্রশ্ন ১) যুক্তিত সত্যৰ ফলন কি?
উত্তৰঃ সত্যৰ ফলন (Truth Function) হৈছে এনে নিয়ম, যিয়ে কোনো যৌগিক বক্তব্যৰ সত্য বা মিছা মান ঠিক কৰে, মাথোঁ তাৰ উপাদান সৰল বক্তব্যসমূহৰ সত্য মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি।
উদাহৰণস্বৰূপ—
সংযোগ (p ∧ q) : p আৰু q দুয়োটা সঁচা হ’লে যৌগিক বক্তব্যটো সঁচা।
বিচ্ছেদ (p ∨ q) : p অথবা q (অন্ততঃ এটা) সঁচা হ’লে যৌগিক বক্তব্যটো সঁচা।
অস্বীকাৰ (¬p) : p সঁচা হ’লে ¬p মিছা, p মিছা হ’লে ¬p সঁচা।
শর্তযুক্ত (p → q) : p সত্য হ’লে q সত্য হ’ব লাগে; নতুবা যৌগিক বক্তব্যটো সত্য।
দ্বিচৰ্ত/সমতুল্য (p ↔ q) : p আৰু q দুয়োটা একে মানৰ হ’ব লাগে—দুয়োটা সঁচা বা দুয়োটা মিছা।
কিয় গুৰুত্বপূর্ণ---
সত্যৰ ফলনে আমাক জটিল যুক্তি পদ্ধতিগতভাৱে পৰীক্ষা কৰিবলৈ দিয়ে। ইয়াৰ সহায়ত সত্যৰ টেবুল বনোৱা যায়, য’ত দেখা যায় উপাদানসমূহৰ মানৰ ওপৰত যৌগিক বক্তব্য কেনেকৈ আচৰণ কৰে। এই বৈশিষ্ট্যই গণিত, প্রতীকী যুক্তি আৰু কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰামিংৰ বাবে এক শক্তিশালী ভিত্তি প্ৰদান কৰে।
প্রশ্ন ২। সত্য টেবুল পদ্ধতি কি?
উত্তৰঃ সত্য টেবুল পদ্ধতি (Truth Table Method) হৈছে কোনো যৌগিক বক্তব্যৰ সত্য মান পৰীক্ষা কৰাৰ পদ্ধতিগত উপায়। ইয়াত সকলো উপাদান সৰল বিবৃতিসমূহৰ সম্ভাব্য সত্য-মিছা (T/F) মানৰ তালিকা তৈয়াৰ কৰা হয় আৰু তাৰ পিছত যৌগিক বক্তব্যৰ সত্য মান সেই মানসমূহৰ ওপৰত কেনেকৈ নিৰ্ভৰ কৰে তাক দেখুৱোৱা হয়।
উদাহৰণস্বৰূপ—
ধৰা যাক p আৰু q দুটা বিবৃতি আছে। তেন্তে সম্ভাব্য সত্যৰ সংমিশ্রণ চাৰিটা হ’ব:
১. (p=T, q=T)
২. (p=T, q=F)
৩. (p=F, q=T)
৪. (p=F, q=F)
এইবোৰত সংযোগ (p ∧ q), বিচ্ছেদ (p ∨ q), অস্বীকাৰ (¬p) আদি সংযোগকাৰীৰ নিয়ম প্ৰয়োগ কৰি যৌগিক বক্তব্যৰ সত্য মান নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
কিয় উপযোগী?
• যুক্তি পৰীক্ষা কৰিবলৈ
• ট'ট'লজি (যদি সদায় সঁচা হয়), বৈপৰীত্য (যদি সদায় মিছা হয়) বা আকস্মিক বিবৃতি চিনাক্ত কৰিবলৈ
• যৌগিক বক্তব্যৰ সমতুল্যতা পৰীক্ষা কৰিবলৈ
দৰ্শন, গণিত আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত সত্য টেবুল যুক্তি, সমস্যা সমাধান আৰু সিদ্ধান্ত গ্ৰহণৰ বাবে এক দৃশ্যমান আৰু সহজ উপায় প্ৰদান কৰে।
প্রশ্ন ৩। সত্যৰ তালিকাই কেনেকৈ বৈপৰীত্য চিনাক্ত কৰে?
উত্তৰঃ বৈপৰীত্য চিনাক্ত কৰিবলৈ সত্য টেবুল ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ইয়াত কোনো যৌগিক বক্তব্যৰ সকলো সম্ভাব্য সত্য-মিছা মান দেখুওৱা হয়। যদি প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰতে যৌগিক বক্তব্য মিছা (F) হয়, তেন্তে সেই বক্তব্য বৈপৰীত্য বুলি ধৰা হয়।
উদাহৰণ—
ধৰা যাওঁক
p হৈছে কোনো বিবৃতি। p ∧ ¬p ৰ সত্য টেবুলত সকলো ক্ষেত্ৰত F থাকিব, অৰ্থাৎ এইটো বৈপৰীত্য।
গুৰুত্বঃ
• ই অসম্ভৱ বা অসামঞ্জস্যপূর্ণ যুক্তি চিনাক্ত কৰে।
• গণিতত প্ৰমাণত ব্যৱহাৰ হয়, যেনে কোনো ধাৰণা মিছা বুলি দেখুৱাবলৈ।
• দৰ্শনত যুক্তিসংগত সামঞ্জস্য নিশ্চিত কৰে।
• কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত কোনো প্ৰগ্ৰেমিং ভুল বা সমস্যা চিনাক্ত কৰে।
সত্য টেবুলে বৈপৰীত্য পৰীক্ষা কৰিবলৈ এক সহজ আৰু নিৰ্ভৰযোগ্য উপায় প্ৰদান কৰে।
প্রশ্ন ৪। যুক্তিত ইপ্লিকেচন কি?
উত্তৰঃ যুক্তিত ইপ্লিকেচন হৈছে "যদি...তেন্তে" সম্পর্ক প্ৰকাশ কৰা এটা যুক্তিসংগত সংযোগী, যাক Ps q ৰূপে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়।
• Ps q মিছা হয় মাত্ৰ তেতিয়াহে যেতিয়া p সত্য আৰু q মিছা।
• বাকী সকলো ক্ষেত্ৰতে Ps q সত্য হয়।
উদাহৰণঃ
p = "বৰষুণ পৰিছে"
q = "মাটি তিতি হয়"
তেতিয়া ps q মানে "যদি বৰষুণ পৰে, তেন্তে মাটি তিতি হয়"।
সত্যৰ তালিকা (Truth Table) :
• (T, T) → T
• (T, F) → F
• (F, T) → T
• (F, F) → T
সত্যৰ তালিকাত ইপ্লিকেচনে (T, T), (T, F), (F, T), আৰু (F, F) সংমিশ্ৰণৰ বাবে T, F, T, T ক্রমটো উৎপন্ন কৰে। গণিত, যুক্তি আৰু কম্পিউটাৰ প্ৰগ্রেমিংত ইল্লিকেচন অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ, কাৰণ ই আমাক কাৰণ-প্ৰভাৱ বা চৰ্তযুক্ত নিয়মসমূহ প্রতিনিধিত্ব কৰিবলৈ অনুমতি দিয়ে। ই প্রমাণ নির্মাণতো সহায় কৰে, কিয়নো বহুতো গাণিতিক উপপাদ্য প্ৰভাৱৰ ক্ষেত্ৰত উল্লেখ কৰা হয়।
প্রশ্ন ৫। প্রতীকী যুক্তিত সিদ্ধান্তৰ পদ্ধতি কি?
উত্তৰঃ প্ৰতীকী যুক্তিত সিদ্ধান্তৰ পদ্ধতি হৈছে কোনো বক্তব্য বৈধ, ট'ট'লজী, বৈপৰীত্য বা আকস্মিক নে নহয় সেইটো নিৰ্ণয় কৰাৰ এক পদ্ধতি।
• এজন সহজ উপায় হৈছে সত্য টেবুল ব্যৱহাৰ কৰা।
• কোনো বক্তব্যৰ সকলো সম্ভাব্য সত্য সংমিশ্ৰণ তালিকাভুক্ত কৰি আমি ইয়াৰ বৈধতা পৰীক্ষা কৰিব পাৰো।
• সসীম সংখ্যা থকা বক্তব্যৰ বাবে এই পদ্ধতি নিশ্চিত ফল প্ৰদান কৰে।
দর্শন, গণিত আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ হয়। কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত স্বয়ংক্রিয় যুক্তি, এলগৰিদম আৰু কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তাৰ ক্ষেত্ৰত ব্যৱহৃত হয়। বহুতো চলক থকা ক্ষেত্ৰত সত্য টেবুল কঠিন হৈ পৰে, সেয়ে আনুষ্ঠানিক প্ৰমাণ বা এলগৰিদমৰ দৰে পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়। কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত সিদ্ধান্ত পদ্ধতিয়ে স্বয়ংক্রিয় যুক্তি, এলগৰিদম, আনকি কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তাৰ ভিত্তি গঠন কৰে, য'ত ব্যৱস্থাই যুক্তিসংগত অৱস্থাৰ পদ্ধতিগতভাৱে মূল্যায়ন কৰিব লাগিব। যদিও বহুতো চলকৰ সৈতে সত্য টেবুল অবাস্তৱ হৈ পৰে, অধিক জটিল গোচৰসমূহ চম্ভালিবলৈ আনুষ্ঠানিক প্রমাণ ব্যৱস্থা বা এলগৰিদমৰ দৰে অন্য সিদ্ধান্ত পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
প্রশ্ন ৬। যুক্তিৰ বৈপৰীত্য কি?
উত্তৰঃ যুক্তিৰ বৈপৰীত্য হৈছে এনে এটা বক্তব্য যিটো সদায় মিছা হয়, উপাদানবোৰৰ সত্য মান যিয়েই নহওক।
উদাহৰণ:
p∧¬p ("p আৰু p নহয়") সকলো ক্ষেত্ৰতে মিছা।
সত্যৰ তালিকাত বৈপৰীত্যৰ স্তম্ভত কেৱল F থাকে।
গুৰুত্বঃ
• যুক্তিত বৈপৰীত্য দেখুৱায় কোনো পৰিস্থিতি অসম্ভৱ বা অবৈধ।
• দৰ্শনত ই সামঞ্জস্য বজাই ৰাখিবলৈ সহায় কৰে।
• গণিতত বৈপৰীত্য ব্যৱহাৰ কৰি কোনো কথা প্ৰমাণ কৰাৰ পদ্ধতি (reductio ad absurdum) প্ৰয়োগ হয়।
• কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত ই প্ৰগ্ৰেমিং আৰু চিষ্টেম ডিজাইনৰ ভুল অৱস্থা চিনাক্ত কৰাত সহায় কৰে।
অবিৰোধৰ নিয়মত কোৱা হৈছে যে কোনো প্রস্তাৱেই একে সময়তে সত্য আৰু মিছা দুয়োটা হ'ব নোৱাৰে। বৈপৰীত্যই বৈপৰীত্যৰ দ্বাৰা প্ৰমাণ কৰাত এটা আহিলা হিচাপেও কাম কৰে য'ত আমি প্ৰমাণ কৰিব বিচৰা কথাৰ বিপৰীত ধৰি ল'লে বৈপৰীত্যৰ সৃষ্টি হয়, যাৰ ফলত মূল বক্তব্যটো নিশ্চিত হয়। কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত বৈপৰীত্যই প্রগ্রেমিং আৰু চিষ্টেম ডিজাইনৰ অবৈধ অৱস্থাসমূহ উজ্জ্বল কৰি তোলে। বৈপৰীত্যে যুক্তিৰ সীমা আৰু সম্ভাৱ্যতা স্পষ্ট কৰে, যাৰ দ্বাৰা ভুল বা অসম্ভৱ অৱস্থা সহজে চিনাক্ত হয়।
প্রশ্ন ৭। সত্যৰ কাৰ্য্যত অস্বীকাৰৰ অৰ্থ কি? উত্তৰঃ অস্বীকাৰ (NOT) হৈছে যুক্তিত আটাইতকৈ সহজ সত্য ফলন। ইয়াক ¬p বা ~p চিহ্নৰে দেখুওৱা হয়। অস্বীকাৰৰ কাম হ’ল কোনো বক্তব্যৰ সত্য মান উলটাই দিয়া। • যদি p সত্য হয়, তেন্তে ¬p মিছা হয়। • যদি p মিছা হয়, তেন্তে ¬p সত্য হয়। উদাহৰণঃ • p = “বৰষুণ দি আছে” • ¬p = “বৰষুণ হোৱা নাই”
সত্যৰ তালিকাত অস্বীকাৰে সত্যৰ মূল্যবোধৰ স্তম্ভটো কেৱল উলটি দিয়ে। যদি p ৰ মান T, F, T, F বিভিন্ন শাৰীত থাকে, তেন্তেp ৰ অনুপাতে F, T, F, T থাকিব। এই সহজ কিন্তু শক্তিশালী সংযোগীটো গণিত, কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান (বুলিয়ান যুক্তিৰ দৰে), আৰু দৰ্শনত বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হয়। অস্বীকাৰ অবিহনে আমি বক্তব্যৰ বিপৰীত বা অস্বীকাৰক প্রতিনিধিত্ব কৰিব নোৱাৰিলোঁহেঁতেন, যাৰ ফলত যুক্তিসংগত বিশেষণ সীমিত হৈ পৰিব।
গুৰুত্বঃ
অস্বীকাৰৰ সহায়ত আমি কোনো কথাৰ বিপৰীত অৰ্থ প্ৰকাশ কৰিব পাৰো।
ই বৈপৰীত্য আৰু বিপৰীত চৰ্ত বুজাবলৈ অতি উপযোগী।
সত্যৰ তালিকাত অস্বীকাৰ কৰিলে সত্য মান কেৱল উলটি যায় (T → F, F → T)।
ব্যৱহাৰঃ
অস্বীকাৰ গণিত, কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান (বুলিয়ান লজিক) আৰু দৰ্শনত বহুলভাৱে ব্যৱহৃত হয়। ইয়াৰ অবিহনে কোনো বক্তব্যৰ বিপৰীত কথা স্পষ্টকৈ প্ৰকাশ কৰা কঠিন হৈ পৰে।
প্রশ্ন ৮। প্রত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ সত্য টেবুল পদ্ধতিৰ মাজত পাৰ্থক্য কি?
উত্তৰঃ প্রত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ সত্য টেবুল পদ্ধতি দুয়োটাই যুক্তিৰ বৈধতা পৰীক্ষা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা হয়, কিন্তু দুয়োটাৰ প্ৰক্ৰিয়া বেলেগ।
প্রত্যক্ষ সত্য টেবুল পদ্ধতিঃ
এই পদ্ধতিত যুক্তিত থকা সকলো চলকৰ বাবে সম্ভাব্য সকলো সত্য–মিছা সংমিশ্ৰণ লিখি এটা সম্পূৰ্ণ সত্য টেবুল বনোৱা হয়। তাৰ পিছত সেই টেবুলৰ সহায়ত সিদ্ধান্ত সত্য নে মিছা সেইটো দেখা হয়। এই পদ্ধতি সহজ আৰু স্পষ্ট, কিন্তু চলকৰ সংখ্যা বেছি হ’লে টেবুলটো দীঘলীয়া আৰু জটিল হৈ পৰে।
পৰোক্ষ সত্য টেবুল পদ্ধতিঃ
এই পদ্ধতিত সকলো সংমিশ্ৰণ নলিখি, আগতে ধৰি লোৱা হয় যে চৰ্তবোৰ সত্য আৰু সিদ্ধান্তটো মিছা। তাৰ পিছত এই ধাৰণাৰ পৰা বৈপৰীত্য ওলায় নেকি সেইটো পৰীক্ষা কৰা হয়। যদি বৈপৰীত্য ওলায়, তেন্তে যুক্তিটো বৈধ বুলি ধৰা হয়; যদি বৈপৰীত্য নোহোৱে, তেন্তে যুক্তিটো অবৈধ। এই পদ্ধতি বহুতো চলক থকা জটিল যুক্তিৰ ক্ষেত্ৰত অধিক সহজ আৰু সময় বচোৱা।
দুয়োটা পদ্ধতিয়েই অৱশ্যে চৰ্ত আৰু সিদ্ধান্তৰ মাজত সামঞ্জস্যতা পৰীক্ষা কৰাৰ একেটা নীতিৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি গঢ় লৈ উঠিছে। শিক্ষণ আৰু সৰল সমস্যাৰ বাবে প্রত্যক্ষ টেবুল ভাল হ'লেও উন্নত যুক্তিসংগত বিশেষণ আৰু গণিতত পৰোক্ষ টেবুল পছন্দ কৰা হয়।
প্রশ্ন ৯। বিচ্ছেদ কি আৰু ই সংযোগৰ পৰা কেনেকৈ পৃথক?
উত্তৰঃ বিচ্ছেদ হৈছে “বা” বুজোৱা এটা যুক্তিসংগত সংযোগী। ইয়াক সাধাৰণতে p বা q বুলি লিখা হয়। এই ধৰণৰ বক্তব্যত p আৰু q দুটাৰ মাজৰ পৰা অন্ততঃ এটা যদি সঁচা হয়, তেন্তে গোটেই বক্তব্যটো সঁচা বুলি ধৰা হয়। কেৱল যেতিয়া p আৰু q দুয়োটাই মিছা হয়, তেতিয়াহে বিচ্ছেদ মিছা হয়।
উদাহৰণস্বৰূপে,
p = “মই পঢ়িম”
q = “মই টিভি চাম”
তেন্তে p বা q মানে “মই পঢ়িম বা টিভি চাম”। ইয়াত যিকোনো এটা কাম কৰিলেই কথাটো সঁচা হয়।
ইয়াৰ বিপৰীতে সংযোগ (“আৰু”)ত দুয়োটা বক্তব্য একেলগে সঁচা হ’ব লাগে। অর্থাৎ সংযোগত দুয়োটা শর্ত পূৰণ নোহ’লে বক্তব্যটো মিছা হয়, কিন্তু বিচ্ছেদত মাত্ৰ এটা শর্ত পূৰণ হ’লেই চলে। সত্য তালিকাত বিচ্ছেদে ইনপুট সংমিশ্রণ (T, T), (T, F), (F, T), আৰু (F, F)ৰ বাবে T, T, T, F মান দিয়ে। যুক্তি, কম্পিউটাৰ এলগৰিদম আৰু দৈনন্দিন সিদ্ধান্ত গ্রহণত বিচ্ছেদ বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ কৰা হয় য'ত একাধিক বিকল্প চর্তে এটা প্রয়োজনীয়তা পূৰণ কৰিব পাৰে।
সেয়েহে ক’ব পাৰি—
• সংযোগত দুয়োটা শর্ত প্রয়োজন
• বিচ্ছেদত অন্ততঃ এটা শর্ত যথেষ্ট
এই কাৰণে দৈনন্দিন সিদ্ধান্ত, যুক্তি আৰু কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰেমিংত বিচ্ছেদ বহুত ব্যৱহাৰ কৰা হয়, য’ত একাধিক বিকল্পৰ মাজৰ পৰা যিকোনো এটা গ্ৰহণযোগ্য হয়।
প্রশ্ন ১০। আকস্মিক বিবৃতি কি?
উত্তৰঃ যি যুক্তিসংগত বক্তব্য কেতিয়াবা সত্য হয় আৰু কেতিয়াবা মিছা হয়, তাক আকস্মিক বিবৃতি বোলা হয়। এই ধৰণৰ বক্তব্য সদায় সত্য হোৱা ট’ট’লজী বা সদায় মিছা হোৱা বৈপৰীত্যৰ দৰে নহয়। আকস্মিক বক্তব্যৰ সত্যতা ইয়াৰ উপাদান বক্তব্যসমূহৰ সত্য মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে।
উদাহৰণস্বৰূপে, p বা q নহয় এটা আকস্মিক বিবৃতি, কাৰণ ই p আৰু q সঁচা নে মিছা তাৰ ওপৰতেই সত্য বা মিছা হয়। সত্য টেবুলত আকস্মিক বিবৃতিৰ শেষ স্তম্ভত কিছুমান ঠাইত T আৰু কিছুমান ঠাইত F দেখা যায়।
আকস্মিক বক্তব্যই বাস্তৱ জগতৰ পৰিস্থিতি প্রতিফলিত কৰে য'ত ফলাফল নির্দিষ্ট নহয় কিন্তু কিছুমান বিশেষ কাৰকৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। দৈনন্দিন জীৱন, গণিত আৰু বিজ্ঞানত আমি সম্মুখীন হোৱা যুক্তিসংগত বক্তব্যৰ সৰহভাগেই ইহঁতে গঠন কৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, "বৰষুণ দিলে মাটি তিতি যায়” আকস্মিক কাৰণ ইয়াৰ সত্যতা নিৰ্ভৰ কৰে প্ৰকৃততে বৰষুণ হয় নে নহয় আৰু মাটিয়ে পানী শোষণ কৰে নে নহয় তাৰ ওপৰত। এই শ্ৰেণীটোৱে যুক্তিক বাস্তৱৰ ক্ষেত্ৰত প্রযোজ্য কৰি তোলে।
Long Questions Answers:
প্রশ্ন ১। সত্য ফলন কি, আৰু ই যুক্তিত কেনেকৈ কাম কৰে?
উত্তৰঃ সত্য ফলন হৈছে প্রতীকী যুক্তিৰ এটা মৌলিক ধাৰণা। সত্য ফলন বুলিলে এনে এটা নিয়ম বা প্ৰক্ৰিয়া বুজায় যাৰ সহায়ত কোনো যৌগিক প্ৰস্তাৱনাৰ সত্য বা মিছা হোৱাটো ইয়াৰ উপাদান প্ৰস্তাৱনাবোৰৰ সত্য মানৰ ওপৰতেই সম্পূৰ্ণৰূপে নিৰ্ভৰ কৰে।
যুক্তিত প্ৰতিটো প্ৰস্তাৱনা হয় সঁচা (T) নহয় মিছা (F)। এই দুটা মানৰ আধাৰতেই সত্য ফলনে কাম কৰে। যেতিয়া দুই বা ততোধিক প্ৰস্তাৱনাক “আৰু”, “বা”, “নহয়”, “যদি… তেন্তে”, “যদি আৰু কেৱল যদি” আদি সংযোগীৰে জুৰি দিয়া হয়, তেতিয়া এই সংযোগীবোৰক সত্য-কাৰ্য্যকৰী সংযোগী বোলা হয়।
উদাহৰণস্বৰূপে—
• “p আৰু q” প্ৰস্তাৱটো তেতিয়াহে সত্য হয় যেতিয়া p আৰু q দুয়োটাই সত্য।
• “p বা q” প্ৰস্তাৱটো তেতিয়া সত্য হয় যেতিয়া p বা q অন্ততঃ এটা সত্য।
• “নহয় p” মানে p যদি সত্য হয় তেন্তে ই মিছা হয়, আৰু p যদি মিছা হয় তেন্তে ই সত্য হয়।
• “যদি p তেন্তে q” প্ৰস্তাৱটো কেৱল তেতিয়াহে মিছা হয় যেতিয়া p সত্য আৰু q মিছা হয়।
এই নিয়মসমূহৰ বাবে সত্য ফলনসমূহ সহজ, নিয়মিত আৰু স্পষ্ট হয়। ইয়াৰ সহায়ত যুক্তিসংগত বিবৃতিৰ সত্য-মূল্য সহজে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি।
অস্বীকাৰ (-) হৈছে আটাইতকৈ সহজ সত্য ফলন। ই এটা প্ৰস্তাৱৰ সত্য মূল্য উলটি দিয়ে। যদি p সঁচা হয়, তেন্তে মিছা, আৰু বিপৰীতভাৱে। একেদৰে চর্তযুক্ত বিবৃতি (ps q) এটা নির্দিষ্ট নিয়মৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে: p সঁচা আৰু q মিছা হ'লেহে ইহঁত মিছা হয়, কিন্তু বাকী সকলো ক্ষেত্রতে সত্য। সত্যৰ ফলন কেৱল বিমূর্ত ধাৰণা নহয়। গণিত, কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান, দর্শনত প্রয়োগ কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে কম্পিউটিঙত বুলিয়ান লজিক সত্য-কাৰ্য্যকৰী কাৰ্য্যৰ বাহিৰে আন একো নহয় যিবোৰ কম্পিউটাৰে উচ্চ গতিৰে প্ৰক্ৰিয়া কৰে। কম্পিউটাৰে লোৱা প্ৰতিটো সিদ্ধান্তক সত্য-কাৰ্য্যকৰী বক্তব্যত ভাঙিব পাৰি।
এইদৰে সত্যৰ ফলনসমূহে প্রতীকী যুক্তিৰ ভেটি হিচাপে কাম কৰে, সত্যৰ মূল্যবোধসমূহে কেনেকৈ পাৰস্পৰিক ক্ৰিয়া কৰে তাক নিয়ন্ত্ৰণ কৰা নিয়মসমূহ প্রদান কৰে। তেওঁলোকৰ অবিহনে দর্শন, গণিত আৰু কম্পিউটাৰ বিজ্ঞানত পদ্ধতিগত যুক্তিৰ গাঁথনি আৰু নিখুঁততাৰ অভাৱ হ'ব।
প্রশ্ন ২। সত্য তালিকাই যুক্তিৰ বৈধতা কেনেকৈ পৰীক্ষা কৰে?
উত্তৰঃ সত্য তালিকা যুক্তিৰ বৈধতা পৰীক্ষা কৰাৰ এটা সহজ আৰু বিশ্বাসযোগ্য পদ্ধতি। কোনো যুক্তি বৈধ তেতিয়াহে হয় যেতিয়া তাৰ সকলো চৰ্ত সত্য হ’লে সিদ্ধান্তটোও সদায় সত্য হয়। এই পদ্ধতিত প্ৰথমে যুক্তিটোৰ চৰ্তসমূহ আৰু সিদ্ধান্তটো চিনাক্ত কৰা হয় আৰু সিহঁতক প্রতীকী ৰূপত লিখা হয়। তাৰ পিছত সকলো উপাদান প্ৰস্তাৱনাৰ বাবে এটা সত্য তালিকা তৈয়াৰ কৰা হয়, য’ত সঁচা (T) আৰু মিছা (F) সকলো সম্ভাৱনা দেখুৱা হয়। প্ৰক্ৰিয়াটো আৰম্ভ হয় চৰ্ত আৰু সিদ্ধান্ত চিনাক্ত কৰি। প্রত্যেককে প্রতীকীভাবে প্রতিনিধিত্ব কৰা হৈছে। তাৰ পিছত সকলো উপাদান প্রস্তাৱ, চর্ত আৰু সিদ্ধান্তৰ বাবে স্তম্ভৰে এটা সত্য টেবুল নিৰ্মাণ কৰা হয়। পৰৱৰ্তী পদক্ষেপটো হ'ল সকলো চৌহদ সঁচা হোৱা শাৰীবোৰ চাব লাগে। যদি এনে প্রতিটো শাৰীতে সিদ্ধান্তটোও সত্য হয়, তেন্তে যুক্তিটো বৈধ। যদি এটা শাৰীও আছে য'ত চৰ্তবোৰ সকলো সত্য কিন্তু সিদ্ধান্তটো মিছা, তেন্তে যুক্তিটো অবৈধ।
তাৰ পাছত সত্য তালিকাত সেইবোৰ শাৰী চোৱা হয় য’ত সকলো চৰ্ত সত্য।
• যদি এনে সকলো শাৰীতেই সিদ্ধান্তটো সত্য হয়, তেন্তে যুক্তিটো বৈধ।
• কিন্তু যদি অন্ততঃ এটা শাৰী থাকে য’ত সকলো চৰ্ত সত্য কিন্তু সিদ্ধান্তটো মিছা, তেন্তে যুক্তিটো অবৈধ।
উদাহৰণস্বৰূপে—
যদি বৰষুণ দিয়ে তেন্তে মাটি তিতি যায় (p → q)
বৰষুণ দিয়ে (p)
গতিকে মাটি তিতি যায় (q)
সত্য তালিকাত দেখা যায় যে যেতিয়াই দুয়োটা চৰ্ত সত্য হয়, তেতিয়াই সিদ্ধান্তটোও সত্য হয়। সেয়ে এই যুক্তিটো বৈধ। এইদৰে সত্য তালিকা পদ্ধতিয়ে যুক্তিৰ বৈধতা স্পষ্ট, নিয়মিত আৰু পক্ষপাতহীনভাবে পৰীক্ষা কৰিবলৈ সহায় কৰে।
প্রশ্ন ৩। প্রতীকী যুক্তিত যুক্তিসংগত সংযোগীসমূহ কেনেকৈ আন্তঃসংজ্ঞায়িতযোগ্য?
উত্তৰঃ প্রতীকী যুক্তিত বহুতো যুক্তিসংগত সংযোগী একে-আনেৰে সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰি। ইয়াক আন্তঃসংজ্ঞায়িততা বোলা হয়। অৰ্থাৎ কিছুমান সংযোগীক আন কিছুমান সংযোগীৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ইয়াৰ দ্বাৰা যুক্তিৰ ব্যৱস্থাটো সহজ আৰু সংগঠিত হোৱা দেখা যায়।
উদাহৰণস্বৰূপে—
• “আৰু” (p ∧ q) সংযোগীটো “বা” (∨) আৰু “নহয়” (¬) ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ডি-মৰ্গানৰ নিয়ম
অনুসৰি—
p ∧ q = ¬(¬p ∨ ¬q)
ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল, “p আৰু q” সত্য হ’ব যেতিয়া “p নহয় বা q নহয়” মিছা হয়।
• একেদৰে চৰ্তযুক্ত সংযোগী “যদি p তেন্তে q” (p → q) ক এইদৰে লিখিব পাৰি—
p → q = ¬p ∨ q
ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে, “p → q” বুলিলে “p মিছা অথবা q সত্য” কোৱা হয়।
• দ্বিচৰ্তযুক্ত সংযোগী “যদি আৰু কেৱল যদিহে” (p ↔ q) ক দুটা চৰ্তযুক্ত সংযোগীৰে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি—
p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)
ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে, p আৰু q দুয়োটাই একে সময়তে সত্য বা একে সময়তে মিছা হ’ব লাগিব।
এই আন্তঃসংজ্ঞায়িততাই দেখুৱায় যে সৰু সংখ্যক সংযোগীৰে সম্পূৰ্ণ যুক্তি-ব্যৱস্থা গঢ়ি তুলিব পাৰি। আচলতে NAND আৰু NOR নামৰ একক সংযোগী ব্যৱহাৰ কৰিও সকলো আন সংযোগী গঠন কৰিব পাৰি। ইয়াৰ ব্যৱহাৰিক গুৰুত্ব বহুত। কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু ডিজিটেল ইলেকট্ৰনিক্সত এই নীতি ব্যৱহাৰ কৰি কেৱল NAND গেটৰ দ্বাৰা সম্পূৰ্ণ বর্তনী ডিজাইন কৰা হয়।
প্রতীকৰ এই অর্থনীতি কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আৰু ডিজিটেল ইলেট্রনি'ত উপযোগী, য'ত কার্যকলাপৰ সংখ্যা সৰল কৰিলে সম্পদ ৰাহি হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, বর্তনীসমূহত লজিক গেটসমূহ কেৱল NAND গেটসমূহ ব্যৱহাৰ কৰি ডিজাইন কৰিব পাৰি, যিয়ে তাৰ পিছত অন্য সকলো কাৰ্য্য অনুকৰণ কৰে। এইদৰে যুক্তিসংগত সংযোগকাৰীৰ আন্তঃসংজ্ঞায়িততাই কেৱল যুক্তিসংগত ব্যৱস্থাৰ সৌন্দৰ্য্যই নহয়, ইয়াৰ ব্যৱহাৰিক কাৰ্যক্ষমতাও প্রকাশ কৰে। ই দেখুৱাইছে যে ব্যঞ্জনামূলক শক্তি ধৰি ৰাখি যুক্তিক ইয়াৰ সৰল বিল্ডিং ব্লকলৈ হ্রাস কৰিব পাৰি।
