বীজগাণিতিক ৰাশি | Algebraic Expression | বহুপদ | Polynomials | বহুপদৰ শূণ্য় | Zeroes of Polynomials | বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ | Factorisation of Polynomials |

 বীজগাণিতিক ৰাশি 

একপদ ৰাশিঃ কেৱল মাত্ৰ এটা পদৰ ৰাশিবোৰক একপদ ৰাশি বোলে। যেনে - 

2x², 3xy, 6x², 2xy .......... ইত্যাদি

দ্বিপদ ৰাশিঃ দুটা পদ থকা ৰাশিবোৰক দ্বিপদ ৰাশি বোলে। যেনে -

2x² + 4x, 3x + 3xy, 6x² - 2xy ............. ইত্যাদি

ত্ৰিপদ ৰাশিঃ তিনিটা পদ থকা ৰাশি ত্ৰিপদ ৰাশি বোলা হয়। যেনে - 

2x² + 3xy + 2xy, 3x²y + 2x + xy ............ ইত্যাদি

বহুপদ ৰাশিঃ দুটা বা ততোধিক পদ থকা ৰাশিক বহুপদ ৰাশি বুলি কোৱা হয়। যেনে - 

x² + y² + 2xy + x² + y² - 2xy, 2x² + 3xy + 2xy + 3x²y + 2x + xy ............. ইত্যাদি

উদাহৰণঃ তলৰ বহুপদসমূহৰ পৰা একপদ, দ্বিপদ, আৰু ত্ৰিপদ বাচি উলিওৱা - 

x² + 3xy, xy², x³ + y² - 2xy, y³ - 2x² + xy, 2y³ 

উত্তৰঃ 

একপদঃ xy², 2y³ 

দ্বিপদঃ x² + 3xy

ত্ৰিপদঃ x³ + y² - 2xy, y³ - 2x² + xy

একঘাত পদঃ এটা মাত্ৰাবিশিষ্ট পদক ত্ৰিঘাত পদ বোলা হয়। যেনে - x, y, a, b, c ........... ইত্যাদি

দ্বিঘাত পদঃ দুই মাত্ৰাবিশিষ্ট পদক দ্বিঘাত পদ বুলি কোৱা হয়। যেনে - x², y², xy²

ত্ৰিঘাত পদঃ তিনি মাত্ৰাবিশিষ্ট পদক ত্ৰিঘাত পদ বোলা হয়। যেনে - x³, 2x³, xy³ 

উদাহৰণঃ তলৰ বহুপদবোৰৰ পৰা x² ৰ সহগ লিখা।

(i) 2 + x² + x

উত্তৰঃ x² ৰ সহগ হৈছে 一 1

(ii) 2 - x² + x³ 

উত্তৰঃ x² ৰ সহগ হৈছে 一 (-1)

(iii) π/2x²  + x

উত্তৰঃ x² ৰ সহগ হৈছে 一 π/2

(iv) √2x - 1

উত্তৰঃ x² ৰ সহগ হৈছে 一 0

(v) (2x -3)(x² - 3x + 1)

= 2x³ - 6x² + 2x - 3x² + 9x - 3

= 2x³ - 9x² + 11x - 3

∴ x² ৰ সহগ হৈছে - ( -9 )

বহুপদৰ শূণ্য়ঃ  যি নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবে এটা বহুপদৰ মান শূণ্য় হয়, সেই মানটোক বহুপদটোৰ শূণ্য় বুলি কোৱা হয়। যেনে - 

P(x) = 5x³ - 2x² + 3x - 2 (যদি x ৰ মান 1 হয়)

        = 5.1³ - 2.1² + 3.1 - 2

        = 5.1 - 2.1 + 3 - 2

        = 5 - 2 + 1

        = 4

এতিয়া, আমি ক'ব পাৰো যে, x = 1 ত p(x) ৰ মান 4।

P(x) = 5x³ - 2x² + 3x - 2 = 4 ৰ শূণ্য 一 1

উদাহৰণঃ তলৰ সমীকৰণকেইটাৰ শূণ্য় নিৰ্ণয় কৰা —

(i) P(x) = x + 5

উত্তৰঃ P(x) = x + 5 = 0

⇒ x = -5

∴ ইয়াত শূণ্য হৈছে - 5

(ii) P(x) = 2x + 6 = 0

⇒ x = -6/2 = -3

∴ ইয়াত শূণ্য হৈছে 一 -3

(iii) P(x) = 2x² - 8 = 0

⇒2x² = 8

⇒ x² = 8/2

⇒ x = 2

∴ ইয়াত শূণ্য হৈছে 一 2

বহুপদৰ উৎপাদক বিশ্লেষণঃ এটা বহুপদক আন এটা বহুপদৰে হৰণ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰিব পাৰি। যেনে p(x) ক g(x) ৰ দ্বাৰা হৰণ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা হৈছে 

(i) P(x) = x + 3x² - 1

⇒ P(x) = 3x² + x - 1

g(x) = 1 + x

⇒ g(x) = x + 1

উত্তৰঃ 

(ii) P(x) = x³ + 1g(x) = x +1উত্তৰঃ 

বহুপদৰ মান নিৰ্ণয় কৰিবৰ বাবে আমাক কিছুমান অভেদাৱলী দিয়া হৈছে ─(x + y)² = x² + 2xy + y² (x - y)² = x² - 2xy + y² x² - y² = (x + y)(x - y)আন কেইটামান অভেদ হৈছে ─(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)(x -  y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y)x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - xz)ওপৰৰ অভেদসমূহ প্ৰমাণ কৰি দেখুওৱা হৈছে 一(i) (x + y)² = x² + y² + 2xyL.H.S; (x + y)² = (x + y)(x + y)= x² + xy + xy + y² = x² + y² + 2xy= R.H.S(ii) (x - y)² = x² +  y² - 2xyL.H.S; (x - y)² = (x - y)(x - y)=  x² - xy - xy + y² = x² + y² - 2xy= R.H.S
(iii) x² - y² = (x + y)(x - y)R.H.S; (x + y)(x - y)= x² - xy + xy - y² = x² - y² = L.H.S
(iv) (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xzL.H.S; (x + y + z)² = (x + y + z)(x + y + z)= x² + xy + xz + xy + y² + yz + xz + zy + z² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz= R.H.S
(v) (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)L.H.S; (x + y)³ = (x + y)(x + y)² = (x + y)(x² + y² + 2xy)= x³ + xy² + 2x²y + x²y + y³ + 2xy² = x³ + y³ + 3x²y+ 3xy²= x³ + y³ + 3xy(x + y)= R.H.S
- Hiru Moni Bora