পাঠ ১
সংহতি
Sets
Exercise 1.1
1. সংহতি A = { x : x ∊ N আৰু; x ≤ 10 } আৰু Φ ৰ বাবে তলত দিয়া বিলাক নিৰ্ণয় কৰা।
(a) n(A) আৰু n(Φ) (b) n(A∪Φ) আৰু N(A∩Φ)
উত্তৰঃ
দিয়া আছে;
A = { x : x ∈ N আৰু x ≤ 10 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
(a) n(A) = 10
আৰু
(b) n(A∪Φ) + n(A∩Φ)
= 10 + 0
= 10
2. ধৰা হ'ল A আৰু B দুটা সংহতি আৰু U সিহঁতৰ সাৰ্বিক সংহতি। যদি n(U) = 120 n(A) = 42 n(B) = 50 আৰু n(A∩B) = 21, তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা 一
(i) n(A∪B), n(A - B), n(B - A) আৰু n(A'⋂B')
উত্তৰঃ
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 42 + 50 - 21
= 71
n(A - B) = n(A) - n(A∩B)
= 42 - 21
= 21
n(B - A) = n(B) - n(A∩B)
= 50 - 21
= 29
n(A'⋂B') = n(A∪B)'
= n(U) - n(A⋃B)
= 120 - 71
= 49
(ii) n(B'), n(A'), n(A∪B)'
উত্তৰঃ
n(B') = n(U) - n(B)
= 120 - 50
= 70
n(A') = n(U) - n(A)
= 120 - 42
= 78
n(A∪B)' = n(U) - n(A∪B)
= 120 - 71
= 49
(iii) n(P∪Q) আৰু n(P∩Q) যদি P = A - B, Q = A∩B
উত্তৰঃ
n(P∪Q) = n[(A - B) ∪ (A∩B)]
= n[(A∩B') ∪ (A∩B)]
= n[A∩(B'∪B)]
= n[A∩U]
= n(A)
= 42
(iv) U - (A∪B) সংহতিটোত কিমান মৌল আছে?
উত্তৰঃ
n[U - (A∪B)]
= n(U) - n(A∪B)
= 120 - 71
= 49
3. যদি n(A∩B) = 36, n(A - B) = 25, n(B - A) = 20 তেন্তে n(A∪B), n(A) আৰু n(B) উলিওৱা।
উত্তৰঃ
n(A∪B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A∩B)
= 25 + 20 + 36
= 81
n(A) = n(A - B) + n(A∩B)
= 25 + 36
= 61
n(B) = n(B - A) + n(A∩B)
= 20 + 36
= 56
4. ওপৰৰ 3 নং প্ৰশ্নটোৰ সাপেক্ষে ভেনচিত্ৰ আঁকি A∩B, A - B আৰু B - A সংহতি কেইটা চিহ্নিত কৰা আৰু তাৰ সহায়ত ইতিমধ্যে পোৱা উত্তৰৰ সত্যাপন কৰা।
উত্তৰঃ
5. এটা শ্ৰেণীত পতা গণিত আৰু ইংৰাজী পৰীক্ষাৰ পৰা দেখা গ'ল যে 55 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিতত, 46 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে ইংৰাজীত আৰু 35 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিত আৰু ইংৰাজী উভয়তে উত্তীৰ্ণ হৈছে। যদি পৰীক্ষাত অৱতীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা 100 তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা 一
উত্তৰঃ
ধৰো হ'ল ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি E আৰু গণিতত উত্তীৰ্ণ শিক্ষা্থীৰ সহতি M
এতিয়া n(E) = 46, n(M) = 55, n(E∩M) = 35 আৰু n(U) = 100
∴ n(E∪M) = n(E) + n(M) - n(E∩M) = 46 + 55 - 35 = 66
(i) দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ হাৰ
⇒
n(E'∩M') = n(E∩M)'
= n(U) - n(E∩M)
= 100 - 66
= 34
(ii) একমাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ হাৰ
n(M) = n(M) - n(E∩M)
= 55 - 35
= 20
(iii) একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ হাৰ
n(E) = n(E) - n(E∩M)
= 46 - 35
= 11
6. এখন স্কুলৰ 550 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ'ল যে 175 গৰাকীয়ে গাখীৰ, 300 গৰাকীয়ে চাহ আৰু 110 গৰাকীয়ে গাখীৰ আৰু চাহ দুয়োটাই খায়। গাখীৰ আৰু চাহৰ এটাও নোখোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰো, গাখীৰ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি M আৰু চাহ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা T
এতিয়া n(M) = 175, n(T) = 300 আৰু n(M∩T) = 110
∴ n(M∪T) = n(M) + n(T) - n(M∩T)
= 175 + 300 - 110
= 365
∴ n(M'∩T') = n(M⋃T)'
= n(U) - n(M⋃T)
= 550 - 365
= 185
7. অসমত থকা কেন্দ্ৰীয় চৰকাৰৰ অধানস্থ কাৰ্যালয় এটাৰ চাকৰিয়ালৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ'ল যে তেওঁলোকৰ 80 জনে অসমীয়া, 70 জনে ইংৰাজী আৰু 50 জনে অসমীয়া ইংৰাজী দুয়োটাই কব পাৰে। জৰীপটোত অংশ লোৱা প্ৰতিজন চাকৰিয়ালে যদি অসমীয়া অথবা ইংৰাজী অথবা এই দুয়োটা ভাযাই কব পাৰে তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা 一
উত্তৰঃ ধৰো, অসমীয়া কব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি A আৰু ইংৰাজী কব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি E
এতিয়া, n(A) = 80, n(E) = 70 আৰু n(A⋂B) = 50
(i) জৰীপটোত অংশ লোৱা মুঠ চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ
n(A∪E) = n(A) + n(E) - n(A⋂B)
= 80 + 70 - 50
= 100
∵ প্ৰতিজন চাকৰিয়ালে ইংৰাজী অথবা অসমীয়া অথবা দুয়োটাই কব পাৰে
∴ n(U) = 100
(ii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ অসমীয়াহে ক'ব পাৰে?
উত্তৰঃ
n(A') = n(U) - n(A)
= 100 - 80
= 20
(iii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ ইংৰজীহে ক'ব পাৰে?
উত্তৰঃ
n(E') = n(U) - n(E)
= 100 - 70
= 30
8. 250 জন সদস্য থকা এটা ক্লাবৰ 130 জনে চাহ খায় আৰু 85 জনে কফি নেখায় কিন্ত চাহহে খায়। যদি সদস্যসকলৰ প্ৰতিজনেই চাহ আৰু কফিৰ ভিতৰত অতি কমেও কোনো এবিধ পানীয় সেৱন কৰে তেন্তে 一
উত্তৰঃ ধৰো, চাহ খোৱা সদস্যৰ সংহতি T আৰু কফি খোৱা সদস্যৰ সংহতি C
এতিয়া n(T) = 130, n(T - C) = 85 আৰু n(U) = n(T∪C) = 250
(i) কিমান জন সদস্যই কফি খায়?
n(C) = n(U) - n(T - C)
= 250 - 85
= 165
(ii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে চাহ নেখায় কিন্তু কফিহে খায়?
∵
n(T⋂C) = n(T) + n(C) - n(T∪C)
= 130 + 165 - 250
= 45
n(C - T) = n(C) - n(T⋂C)
= 165 - 45
= 120
9. 90 জন ছাত্ৰ থকা এটা শ্ৰেণীৰ 60 জনে ভলীবল, 53 জনে বেডমিণ্টন আৰু 35 জনে এই দুয়োটা খেলেই খেলে। তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা 一
উত্তৰঃ ধৰো, ভলীবল খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি A , বেডমিণ্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি B ∴ n(A) = 60, n(B) = 53, n(A⋂B) = 35 আৰু n(U) = 90
(i) কিমান জনে এই দুয়োটা খেলৰ কোনো এটা খেলো নেখেলে?
n(A∪B)' = n(U) - n(A∪B)
= n(U) - (n(A) + n(B) - n(A⋂B))
= 90 - (60 + 53 - 35)
= 90 - 78
= 12
(ii) কিমানজনে মাত্ৰ বেডমিণ্টন খেলে কিন্তু ভলীবল নেখেলে?
n(B - A) = n(B) - n(A⋂B)
= 53 - 35
= 18
(iii) কিমানজনে মাত্ৰ ভলীবল কেলে, কিন্তু বেডমিণ্টন নেখেলে?
n(A - B) = n(A) - n(A⋂B)
= 60 - 35
= 25
(iv) কিমানজনে এই দুয়োটাৰ অতি কমেও এটা খেল হ'লেও খেলে?
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 60 + 53 - 35
= 78
10. এখন নগৰৰ 1500 পৰিয়ালৰ মাজত চলোৱা এটা পিয়লৰ পৰা জনা গৈছে যে তাৰে 1263 পৰিয়ালত টিভি. 639 পৰিয়ালত ৰেডিঅ' আৰু 197 পৰিয়ালত টিভি. আৰু ৰেডিঅ'ৰ কোনোটোৱেই নাই। সেই নগৰখনৰ
(i) কিমান পৰিয়ালত টিভি. আৰু ৰেডিঅ' দুয়োটাই আছে?
(ii) কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ টিভিহে আছে?
(iii) কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ ৰেডিঅ'হে আছে, টিভি. নাই?
উত্তৰঃ
ধৰো, টিভি. থকা পৰিয়ালৰ সংহতি A আৰু ৰেডিঅ' থকা পৰিয়ালৰ সংহতি B ∴ n(U) = 1500, n(A) = 1263, n(B) = 639 আৰু n(A⋂B)' = 197
(i) ∵ n(A⋂B)' = n(U) - n(A∪B)
⇒ n(A∪B)) = n(U) - n(A'⋂B')
= 1500 - 197
= 1303
আকৌ,
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A⋂B)
⇒ n(A⋂B) = n(A) + n(B) - n(A∪B)
= 1263 + 639 -1303
= 599
(ii) n(A - B) = n(A) - n(A⋂B)
= 1263 - 599
= 664
(iii) n(B - A) = n(B) - n(A⋂B)
= 639 - 599
= 40
11. এটা শ্ৰেণীৰ 180 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ ভিতৰত 76 গৰাকীয়ে গণিত, 81 গৰাকীয়ে পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু 80 গৰাকীয়ে ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে। তদুপৰি 34 গৰাকীয়ে গণিত আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞান দুয়োটাই, 30 গৰাকীয়ে গণিত আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই, 33 গৰাকীয়ে পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই অধ্যয়ন কৰে। যদি 18 গৰাকীয়ে এই তিনিওটা বিষয়েই অধ্যয়ন কৰে তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা 一
(i) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে?
(ii) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে?
(iii) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ গণিত অধ্যয়ন কৰে?
(iv) কিমান গৰাকীয়ে গণিত আৰু পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্য়ন কৰে, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰে?
(v) কিমান গৰাকীয়ে পদাৰ্থবিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু গণিত অধ্যয়ন নকৰে?
(vi) কিমান গৰাকীয়ে ৰসায়নবিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু পদাৰ্থ বিজ্ঞন অধ্যয়ন নকৰে?
(vii) কিমানজন শিক্ষাৰ্থীয়ে এই তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰে?
উত্তৰঃ ধৰো, পদাৰ্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি A, ৰসায়নবিজ্ঞান অধ্য়য়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি B আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি C ∴ n(A) = 81 n(B) = 80, n(C) = 76, n(A⋂B) = 33, n(B⋂C) 30, n(A⋂C) = 34 আৰু n(A⋂B⋂C) = 18
উত্তৰঃ
(i) n(A⋂C'⋂B')
= n[A⋂(C∪B)']
= n(A) - n[A⋂(C∪B)]
= n(A) - n[(A⋂C)∪(A⋂B)]
= n(P) - [n(A⋂C) + n(A⋂B) - n(A⋂B⋂C)]
= 81 - (34 + 33 - 18)
= 81 - 49
= 32
(ii) n(B⋂A'⋂C')
= n[B⋂(C∪A)']
= n(B) - n[B⋂(C∪A)']
= n(B) - [n(B⋂C)∪(B⋂A)]
= n(B) - [n(B⋂C) + n(B⋂A) - n(B⋂C⋂A)]
= 80 - (33 + 30 - 18)
= 80 - 45
= 35
(iii) n(C⋂A'⋂B')
= n[C⋂(A∪B)']
= n(C) - n[C⋂(A∪B)']
= n(C) - [n(C⋂A)∪(C⋂B)]
= n(C) - [n(C⋂A) + n(C⋂B) - n(C⋂B⋂A)]
= 76 - ( 34 + 30 - 18 )
= 76 - 46
= 30
(iv) n(A⋂C⋂B')
= n(A⋂C) - n(A⋂B⋂C)
= 34 - 18
= 16
(v) n(A⋂B⋂C')
= n(A⋂B) - n(A⋂B⋂C)
= 33 - 18
= 15
(vi) n(B⋂C⋂A')
= n(B⋂C) - n(B⋂C⋂A)
= 30 - 18
= 12
(vii) n(A'⋂B'⋂C')
= n(A∪B∪C)'
= n(U) - n(A∪B∪C)
= n(U) - [n(A) + n(B) + n(C) - n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(A⋂C) + n(A⋂B⋂C)
= 180 - (81 + 80 + 76 - 33 - 30 - 34 + 18)
= 180 + 158
= 22
