পাঠ ১
সংহতি

Sets

Exercise 1.2


1. যদি A = {1, 3, 5} আৰু B = {2, 4, -1} তেন্তে A x B আৰু B x A উলিওৱা। A x B আৰু B x A ত কিমান মৌল আছে নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 
দিয়া আছে;
A = { 1, 3, 5} আৰু B = { 2, 4, -1}
∴ A x B = {(1, 2), (1, 4) (1, -1), (3, 2), (3, 4), (3, -1), (5, 2), (5, 4), (5, -1)}
B x A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (-1, 1), (-1, 3), (-1, 5)}
∴ A x B আৰু B x A ত 9 টাকৈ মৌল আছে।


2.
(a) যদি A = {-1, 3, 6} আৰু B = {-3, 5} A x B আৰু B x A উলিওৱা। এই কাৰ্টেজীয় গুণফল দুটাৰ লেখ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ 
দিয়া আছে;
A = {-1, 3, 6} আৰু B = {-3, 5}
∴ A x B = {(-1, -3), (-1, 5), (3, -3), (3, 5), (6, -3), (6, 5)}
আৰু B x A = {(-3, -1), (-3, 3), (-3, 6), (5, -1), (5, 3), (5, 6)}



















(b) যদি A = {2, 4}, B = {-1, 3, 7}, C = {1, 0}তেনেহ'লে বৃক্ষচিত্ৰৰ সহায়ত A x B, B x A আৰু A x B x C নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 
দিয়া আছে;
A = {2, 4} আৰু B = {-1, 3, 7}
















∴ A x B = {(2, - 1), (2, 3), (2,7), (4, -1), (4, 3), (4, 7)}















∴ B x A = {(-1, 2), (-1, 4), (3, 2), (3, 4), (7, 2), (7, 4)}

















∴ A x B x C = {(2, -1, 1), (2, -1, 0), (2, 3, 1), (2, 3, 0), (2, 7, 1), (2, 7, 0), (4, -1, 1), (4, -1, 0), (4, 3, 1), (4, 3, 0), (4, 7, 1), (4, 7, 0)}


3. যদি A = {x, y, u, v} আৰু B = {a, b, l, m} তেন্তে A x B উলিওৱা আৰু এই কাৰ্টেজীয় গুণফলক এটা স্থানাংক চিত্ৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে; 
A = {x, y, u, v} আৰু B = {a, b, l, m}
∴ A x B = {(x, a), (x, b), (x, l), (x, m), (y, a), (y, b), (y, l), (y, m), (u, a), (u, b), (u, l), (u, m), (v, a), (v, b), (v, l), (v, m)}















4. যদি A = {3, 5}, B = {1, 2, 4}, C = {3, 4, 6} তেন্তে দেখুওৱা যে 一
(i) A x (B∪C) = (A x B)∪(A x C)
উত্তৰঃ 
LHS; A x (B∪C)
= {3, 5} x {1, 2, 3, 4, 6}
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6)}

আকৌ,
RHS; (A x B)∪(A x C)
= [{3, 5} x {1, 2, 4}]∪[{3, 5} x {3, 4, 6}]
= [{(3, 1), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 4)}]∪[{(3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}]
= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}

∴ LHS = RHS

(ii) A x (B∩C) = (A x B)∩(A x C)
উত্তৰঃ
LHS; A x (B∩C)
= {3, 5} x {4}
= {(3, 4), (5, 4)}

আকৌ, 
RHS; (A x B)∩(A x C)
= [{3, 5} x {1, 2, 4}]∩[{3, 5} x {3, 4, 6}]
= [{(3, 1), (3, 2), (3, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 4)}]∩[{(3, 3), (3, 4), (3, 6), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}]
= {(3, 4), (5, 4)}

∴ LHS = RHS


5. A = {x: x ∊ I আৰু -2 < x < 4} আৰু B = {y: y ∊ I হ'ল y2 – 9 = 0 ৰ মূল } সংহতি দুটাৰ বাবে  A x B লেখ অংকন কৰা n(A x B) উলিওৱা।

উত্তৰঃ 
A = {-1, 0, 1, 2, 3} আৰু B = {-3, 3}
∴ A x B = {(-1, -3), (-1, 3), (0, -3), (0, 3), (1, -3), (1, 3), (2, -3), (2, 3), (3, -3), (3, 3)}





















আৰু n(A x B) = 10


6. যদি A = {-3, 0, 3} আৰু {-1, 1} তেন্তে দুখন বেলেগ বেলেগ স্থানাংক তলত A x B আৰু B x A লেখ অংকন কৰা।
উত্তৰঃ

A x B = {(-3, -1), (-3, 1), (0, -1), (0, 1), (3, -1), (3, 1)}
আৰু B x A = {(-1, -3), (-1, 0), (-1, 3), (1, -3), (1, 0), (1, 3)}

















A x B





















B x A


7. (i) যদি A = ф আৰু B = {-1, 1} তেন্তে A x B, B x A আৰু Bৰ ঘাত সংহতি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 
দিয়া আছে;
A = ф, B = {-1, 1}
এতিয়া, A x B = ф
∴ p(A x B) = {ф}
আৰু B x A = ф
∴ p(B x A) = {ф}
আৰু p(B x B) = {ф}, {(-1, -1)}, {(-1, 1)}, {(1, -1)}, {(1, 1)}, {(-1, -1), (-1, 1)}, {{(-1, -1), (1, -1)}, {(-1, -1), (1, 1)}, {(-1, -1), (-1, 1), (1, -1)}, {(-1, -1), (-1, 1), (1, 1)}, {(-1, 1), (-1, 1), (1, -1), (1, 1)}, B x B}

(ii) যদি A = {0} আৰু B = {1} তেন্তে A x B আৰু B x A নিৰ্ণয় কৰা লগতে p(A x B) আৰু p(B x A) উলিওৱা।
উত্তৰঃ 
A x B = {(0, 1)}
∴ p(A x B) = {ф, A x B}
আৰু B x A = {(1, 0)}
∴ p( B x A) = {ф, B x A}


8. যদি A = {2, 4} আৰু B = {4, 2} তেনেহ'লে আমি A x B = A  আৰু B x A = B2 বুলি লিখিব পাৰিমনে?
উত্তৰঃ 
দিয়া আছে;
A = {2, 4} আৰু B = {4, 2}
∴ A x B = {2, 4} x {4, 2}
= {(2, 4), (2, 2), (4, 4), (4, 2)}
আকৌ, A x A = {2, 4} x {2, 4}
= {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}
B x A = {4, 2} x {2, 4}
= {(4, 2), (4, 4), (2, 2), (2, 4)}
আকৌ, B x B = {4, 2} x {4, 2}
= {(4, 4), (4, 2), (2, 4), (2, 2)}
∴ A x B = A x A আৰু B x A = B x B বুলি লিখিব পাৰি।


9. যদি n(A) = 3 আৰু A x A ত থকা দুটা মৌল (a, a) আৰু (b, c) তেন্তে A আৰু A x A সংহতি দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 
দিয়া আছে; n(A) = 3
∴ A = {a, b, c}
এতিয়া A x A = {a, b, c}
= {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}


10. যদি A ⊆ B আৰু C ⊆ D তেন্তে দেখুওৱা যে A x C ⊆ B x D।
উত্তৰঃ ধৰা হ'ল (a, b) এটা A x C ৰ স্বতন্ত্ৰ মৌল তেন্তে
(a, b) ∊ A x C
⇒ a ∈ A আৰু b ∈ C
⇒ (a, b) ∈ B x D
∴ A x C ⊆ B x D
প্ৰমাণ কৰা হ'ল।


11. যদি A x B = {(m, 1), (n, 3), (m, 3), (n, 1), (m, 2), (n, 2)} তেন্তে A আৰু B সংহতি দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ A x B = {(m, 1), (2, 3), (m, 3), (n, 1), (m, 2), (n, 2)}
∴ A = {m, n}, আৰু B = {1, 2, 3}


12. যদি A আৰু B দুটা অৰিক্ত সংহতি আৰু A x B = A x C তেন্তে দেখুওৱা যে B = C।
উত্তৰঃ ধৰা হ'ল
b এটা স্বতন্ত মৌল, তেন্তে
(a, b) ∈ A x B, ∀ a ∈ A
⇒ (a, b) ∈ A x C, ∀ a ∈ A [ ∵ A x B = A x C ]
⇒ b ∈ C
অৰ্থাৎ b ∈ B ⇒ b ∈ C
∴ B ⊂ C....................(i)
এতিয়া ধৰা হ'ল c এটা C ৰ স্বতন্ত্ৰ মৌল, তেন্তে
(a, b) ∈ A x C, ∀ a ∈ A
⇒ (a, c) ∈ A x B, ∀ a ∈ A
⇒ c ∈ B
∴ C ⊂ B....................(ii)
(i) আৰু (ii) ৰ পৰা B = C।


13. A = {1, 2}, B = {1, 3, 2} আৰু C = {4, 2, 1} তেন্তে দেখুওৱা যে A2 = B2 ∩ C2 ।
উত্তৰঃ 
A x A = {1, 2} x {1, 2}
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
আৰু B x B = {1, 3, 2} x {1, 3, 2}
= {(1, 1), (1, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 2)}
আৰু C x C = {4, 2, 1} x {4, 2, 1}
= {(4, 4), (4, 2), (4, 1), (2, 4), (2, 2), (2, 1), (1, 4), (1, 2), (1, 1)}
∴ B2 ∩ C2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
= A x A
H.P


14. যদি A = {0, 1} তেন্তে A x A x A উলিওৱা।
উত্তৰঃ A x A x A = {0, 1} x {0, 1} x {0, 1}
= {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}