সংহতি | Lesson 1 | Exercise 1.3 | Class 10 Advanced Maths Solution Assam | Class 10 Advanced Mathematics Solution Assamese Medium | দশম শ্ৰেণীৰ উচ্চ গণিতৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ |

পাঠ ১

সংহতি

অনুশীলনী 1.3

1. যদি A = {1, 3}, তেন্তে I : A → A এই তৎসমক সম্পৰ্কটো লিখা। তদুপৰি A ৰ ওপৰত সাৰ্বিক সংহতিটো লিখা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে; A = {1, 3}

∴ A → A এই তৎসমক সম্পৰ্কটো হ'ল = {(1, 1), (3, 3)}

A ৰ সাৰ্বিক সংহতিটো হ'ল = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}

2. যদি A = {1, 2} তেন্তে A ৰ ওপৰত হ'ব পৰা সকলোবোৰ সম্পৰ্ক লিখা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে;

A = {1, 2}

A x A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

∴ A ৰ ওপৰত হ'ব পৰা মুঠ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা

= [p^{(A x A)}]

= 2⁴

= 16

= {ф, {(1, 1)}, {(1, 2)}, {(2, 1)}, {(2, 2)}, {(1, 1), (1, 2)}, {(1, 1), (2, 1)}, {(1, 2)}, {(1, 2), (2, 2)}, {(2, 1), (2, 2)}, {(1, 1), (2, 1), (2, 2)} A x A}

3. যদি A = {1, 2, 3} তেন্তে A ৰ ওপৰত গঠিত R = {(x, y): x = y আৰু x, y ∈ A } সম্পৰ্কটোৰ মৌলবিলাক লিখা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে; A = {1, 2, 3}

∴ R = {x, y : x = y আৰু x, y ∈ A}

       = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

4. Z⁺ ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি আৰু R : Z⁺ → Z⁺ সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ'ল R = {(a, b) | a, b ∈  আৰু a - b > 2} ই এটা সসীম সম্পৰ্কনে? Rক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ 

∵ R = {(a, b) | a, b ∈ Z⁺ আৰু a - b > 2}

∴ R = {(4, 1), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4),......................}

5. A = {2, 3, 4, 5} আৰু B = {3, 6, 7, 10} দুটা সংহতি আৰু R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ'ল R = {(x, y) : x ৰ দ্বাৰা y সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় আৰু x ∈ A আৰু y ∈ B} সম্পৰ্ক R ক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত লিখা। তদুপৰি R ক কাড় চিত্ৰ আৰু মেট্ৰিক্স তালিকাৰ দ্বাৰা প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে;

A = {2, 3, 4, 5} আৰু B = {3, 6, 7, 10}

আৰু R = {(x, y) : x ৰ দ্বাৰা y ক সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় আৰু x ∈ A আৰু y ∈ B}

∴ R = {(2, 6), (2, 10), (3, 3), (3, 6), (5, 10)}

R ৰ কাড় চিত্ৰ 

R ৰ মেট্ৰিক্স তালিকাঃ

x y → ↓	3	6	7	10
2	0	1	0	1
3	1	1	0	0
4	0	0	0	0
5	0	0	0	1

6. 5 নং প্ৰশ্নত দিয়া R সম্পৰ্কটোৰ পৰা R^-1 নিৰ্ণয় কৰা। লগতে d(R^-1) আৰু r(R^-1) উলিওৱা।

উত্তৰঃ

R^-1= {(6, 2), (10, 2), (3, 3), (6, 3), (10, 5)}

d(R^-1) = {3, 6, 10}

r(R^-1) = {2, 3, 5}

7. A = {3, 6, 8, 9} সংহতিটোৰ বাবে aRb হয় যদি আৰু যদিহে a - b, 3 ৰে বিভাজ্য য'ত a, b ∈ A । তেন্তে

(i) R ক সংহতি ৰূপত লিখা আৰু ইয়াৰ কাড় চিত্ৰ অংকন কৰা।

উত্তৰঃ 

R = { aRb হয় যদি আৰু যদিহে a - b, 3 ৰে বিভাজ্য য'ত a, b ∈ A}

∴ {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (9, 3), (9, 6), (9, 9)

কাড় চিত্ৰঃ

(ii) d(R) আৰু r(R) নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

d(R) = {3, 6, 9}

আৰু r(R) = {3, 6, 9}

(iii) R ৰ বিপৰীত সম্পৰ্কটো উলিয়াব পাৰিবানে?

উত্তৰঃ 

R^-1 = {(3,3), (3, 6), (3, 9), (6, 3), (6, 6), (6, 9), (9, 3), (9,6), (9, 9)}

8. A = { 1, 2, 3, 4 } আৰু B = { a, b, c, d} দুটা সংহতি। তলৰ কোনকেইটা A ৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্ক হ'ব পাৰে বাছি উলিওৱা

(i) {(1, a), (1, b), (2, c), (4, d)}

(ii) {(1, 1), (1, a), (3, c)}

(iii) A x B

(iv) {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}

(v) {ф}

(vi) {(1, c), (2, c), (3, c), (4, c)}

উত্তৰঃ (i), (iii) (iv)

9. স্বাভাৱিক সংখ্যা N ৰ ওপৰত এটা সম্পৰ্ক R এনেভৱে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হ'ল যে aRb  হয় যদি a = b² আৰু a, b ∈ N। R সম্পৰ্কটো লিখা। তদুপৰি বিধি নিৰ্দিষ্ট পদ্ধতিত R^-1 লিখা।

উত্তৰঃ 

N = {1, 2, 3, 4, 5,.......}

∴ R = {(4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5),........}

আৰু R^-1 = {(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25).............}

10. A = {1, 2, 3, 4, 6} এটা সংহতি আৰু R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ'ল R = {(x, y) : y টো x ৰ দ্বাৰা সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় য'ত x, y ∈ A}।

(i) R ত থকা মৌলৰ সংখ্যা কিমান আৰু সেইবোৰৰ তালিকা দিয়া।

উত্তৰঃ 

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4) (6, 6)}

∴ n(R) = 12

(ii) R^-1 উলিওৱা।

উত্তৰঃ R^-1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (6, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4), (6, 6)}

(iii) d(R), r(R), d(R^-1) আৰু r(R^-1) নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

d(R) = {1, 2, 3, 4, 6}

r(R) = {1, 2, 3, 4, 6}

d(R^-1) = {1, 2, 3, 4, 6}

আৰু r(R^-1) = {1, 2, 3, 4, 6}

11. ধৰা হ'ল A = {10, 11, 12, 13} আৰু B = {1, 2, 3, 4} দুটা সংহতি। তলৰ প্ৰতি ক্ষেত্ৰতে উল্লেখ কৰা সংজ্ঞা মতে A ৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্ক লিখা।

(i) R₁ = {(a, b) : a ∊ A আৰু b ∈ B হ'লে a - b অযুগ্ম}

উত্তৰঃ 

R₁ = {(10, 1), (10, 3), (11, 2), (11, 4), (12, 1), (12, 3), (13, 2), (13, 4)}

(ii) R₂ = {(a, b) : a ∊ A আৰু b ∈ B a + b, 4 ৰ গুণিতক }

উত্তৰঃ 

R₂ = {(10, 2), (11, 1), (12, 4), (13, 3)}

(iii)  = {(a, b) : a ∊ A আৰু b ∈ B আৰু a < 10 হ'লে a - b ∈ N}

উত্তৰঃ R₃ = ф

12. অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি Z ৰ ওপৰত R₁ আৰু R₂ ৰ সংজ্ঞা হ'ল 一

R₁ = {(a, b) : a² = b²আৰু a, b ∈ Z}

R₂ = {(a, b) : a আৰু b দুয়োটা 10 তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা হ'লে a - b ধনাত্মক}

এই সম্পৰ্ক দুটাৰ প্ৰতিটোৰে আদিক্ষেত্ৰ আৰু পৰিসৰ উলিওৱা।

উত্তৰঃ 

R₁ = {(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4),...........}

d(R₁) = {-1, -2, -3, -4,.......}

আৰু r(R2) = {1, 2, 3, 4,........}

R₂ = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4) (6, 1), (6,2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (9, 1), (9, 2), (9, 3), (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 8)}

d(R2) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

r(R2) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

13. যদি কোনো সংখ্যাৰ সংহতি A ৰ ওপৰত R আৰু S দুটা সম্পৰ্ক, তেন্তে দেখুওৱা যে

(i) যদি R ⊂ S তেন্তে R^-1 ⊂ S^-1

(ii) R^-1 = R^-1

উত্তৰঃ 

(i) ধৰো, (a, b) ∈ R আৰু (a, b) ∈ S

⇒ (a, b) ∈ R^-1 আৰু (a, b) ∈ S^-1

∴ যদি R ⊂ S তেন্তে R^-1 ⊂ S^-1

(ii) ধৰো, (a, b) ∈ (R ∪ T)^-1

⇒ (b, a) ∈ R∪T

⇒ (b, a) R বা (b, a) ∈ T

⇒ (a, b) ∈ R^-1 বা (a, b) ∈ T^-1

⇒ (a, b) ∈ R^-1∪T^-1

∴ (R ∪ T)^-1 = R^-1∪T^-1

14. যদি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি N ৰ ওপৰত গঠিত R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা এনে যে R = {(a, b) : 3a + b = 10 আৰু a, b ∈ N} তেন্তে R^-1 ক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত সংহতি হিচাপে লিখা।

উত্তৰঃ 

R = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)}

∴ R^-1 = {(7, 1), (4, 2), (1, 3)}

- Hiru Moni Bora