পাঠ ১
সংহতি
অনুশীলনী 1.4
1. এটা সম্পৰ্ক R ৰ উদাহৰণ দিয়া যাতে 一
(a) R স্বতুল্য, কিন্তু সমমিত আৰু সংক্ৰামক নহয়।
(b) R সমমিত, কিন্তু স্বতুল্য আৰু সংক্ৰামক নহয়।
(c) R সংক্ৰামক, কিন্তু স্বতুল্য আৰু সমমিত নহয়।
উত্তৰঃ
(i) ধৰো, A = {1, 2, 3}
∴ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
সম্পৰ্কটো স্বতুল্য, কিন্তু সমমিত আৰু সংক্ৰামক নহয়।
(ii) ধৰো, A = {a, b, c}
∴ R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
(iii) ধৰো, A = {a, b, c}
∴ R =
2. শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা 一
(a) এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত সাৰ্বিক সম্পৰ্কটো
(i) স্বতুল্য (ii) সমমিত (iii) সংক্ৰামক (iv) এই আটাইবোৰেই
উত্তৰঃ এই আটাইবোৰেই
(b) এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত তৎসমক সম্পৰ্কটো
(i) স্বতুল্য (ii) সমমিত (iii) সংক্ৰামক (iv) এই আটাইবোৰেই
উত্তৰঃ এই আটাইবোৰেই
3. সংহতি A = {a, b, c} ৰ ওপৰত কেইটামান সম্পৰ্ক তলত দিয়া হ'ল। ইয়াৰে কোনবিলাক স্বতুল্য, সমমিত, সংক্ৰামক বা ইয়াৰে এটাও নহয় পৰীক্ষা কৰা।
(i) R1 = {(a, b)}
(ii) R2 ={(a, a), (c, c), (a, c), (c, a)}
(iii) R3 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (b, a)}
(iv) R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
উত্তৰঃ
(i) R1 = {a, b}
= একমাত্ৰ স্বতুল্য নহয়।
(ii) R2 = {(a, a), (c, c), (a, c), (c, a)}
= স্বতুল্য নহয়।
(iii) R3 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (b, a)}
= স্বতুল্য নহয়।
(iv) R4 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
= সমতুল্য সম্পৰ্ক।
4. A = {1, 2, 3} ৰ ওপৰত কেইটামান সম্পৰ্ক তলত দিয়া হ'ল। ইয়াৰে কোনবিলাক স্বতুল্য কোৱা 一
(a) R = {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}
(b) S = {(3, 1)}
(c) T = {(1, 1), (3, 1), (3, 3), (2, 1), (2, 2)}
উত্তৰঃ
(c) T = {(1, 1), (3, 1), (3, 3), (2, 1), (2, 2)}
5. A = {1, 2, 3} ৰ ওপৰত গঠিত তলত দিয়া সম্পৰ্কবিলাকৰ ক্ষেত্ৰত সঁচা নে মিছা কোৱা 一
(a) R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)} সমমিত সম্পৰ্ক।
উত্তৰঃ মিছা।
(b) R2 = {(3, 3)} সমমিত, কিন্তু স্বতুল্য নহয়।
উত্তৰঃ সঁচা।
(c) R3 = {(1, 2)} প্ৰতিসমমিত সম্পৰ্ক।
উত্তৰঃ সঁচা।
(d) R4 = {(1, 1), (3, 2), (2, 3)} সমমিত, কিন্তু প্ৰতিসমমিত নহয়।
উত্তৰঃ সঁচা।
(e) R5 = {(2, 2)} প্ৰতিসমমিত, কিন্তু স্বতুল্য নহয়।
উত্তৰঃ সঁচা।
(f) R6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 1), (2, 1)} সংক্ৰামক।
উত্তৰঃ মিছা।
(g) R7 = {(1, 3)} আৰু R8 = {(2, 2)} এই দুয়োটাই সংক্ৰামক।
উত্তৰঃ সঁচা।
(h) R = A x A এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক। কিন্তু ই প্ৰতিসমমিত নহয়।
উত্তৰঃ সঁচা।
6. উদাহৰণৰ সহায়ত দেখুওৱা যে এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত তৎসমক সম্পৰ্কটো সদায় স্বতুল্য। কিন্তু এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক তৎসমক নহ'বও পাৰে।
উত্তৰঃ ধৰো,
A = {a, b, c}
তৎসমক সম্পৰ্ক = {(a, a), (b, b), (c, c)}
সম্পৰ্কটো স্বতুল্য কাৰণ, প্ৰত্যেক a ∈ A
ই নিজৰ লগত জড়িত।
7. প্ৰাকৃতিক সংখ্যাৰ সংহতি N ৰ ওপৰত গঠিত এটা সম্পৰ্ক R ৰ সংজ্ঞা হ'ল R ৰ সংজ্ঞা হ'ল 'সকলো x, y ∈ N ৰ বাবে (x, y) ∈ R যদি আৰু যদিহে x এ y ক ভাগ কৰে'। R সম্পৰ্কটো সমতুল্য নহয়।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে;
x, y ∈ N আৰু R = {(x, y) : যদিহে x এ y ক ভাগ কৰে}
∴ R = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8),.............}
ই সমতুল্য নহয় কাৰণ (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4),.................∉ R}
8. R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ'ল R = {(x, y) : x, y ∈ Z ৰ বাবে x - y ক 5 ৰে হৰণ যায়}। দেখুওৱা যে R এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে;
R = {(x, y) : x, y ∈ Z ৰ বাবে x - y ক 5 ৰে হৰণ যায়}
(i) ধৰো, a ∈ R
∴ a - a = 0 ক 5 ৰে হৰণ যায়।
∴ (a, a) ∈ R ∀ a ∈ R
⇒ R স্বতুল্য।
(ii) ধৰো, (a, b) ∈ R
⇒ a - b ক 5 ৰে হৰণ যায়।
⇒ b - a ক 5 ৰে হৰণ যায়।
⇒ (a, b) ∈ R
∴ R সমমিত।
(iii) ধৰো, (a, b) ∈ R আৰু (b, c) ∈ R
⇒ (a - b), (b - c) ক 5 ৰে হৰণ যায়।
⇒ (a - b) + (b - c) ক 5 ৰে হৰণ যায়।
⇒ (a - c) ক 5 ৰে হৰণ যায়।
⇒ (a, c) ∈ R
∴ R সংক্ৰামক
∴ R সমতুল্য সম্পৰ্ক।
9. ধৰা হ'ল সংহতি A ৰ ওপৰত R আৰু S দুটা সম্পৰ্ক। তলৰ উক্তিবিলাক সঁচা নে মিছা পৰীক্ষা কৰা।
(i) যদি R স্বতুল্য, তেন্তে R-1 স্বতুল্য সম্পৰ্ক।
উত্তৰঃ ধৰা হ'ল
A = {a, b, c}
∴ R = {(a, a), (b, b), (c, c)}
∴ R স্বতুল্য
⇒ R-1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
∴ স্বতুল্য
(ii) যদি R সমতুল্য সম্পৰ্ক, তেন্তে R-1 সমতুল্য সম্পৰ্ক।
উত্তৰঃ ধৰা হ'ল
A = {a, b, c}
⇒R = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
∴ R সমতুল্য
⇒ R-1 = {(a, a), (b, a), (c, a), (a, b), (b, b), (c, b), (a, c), (b, c), (c, c)}
∴ R-1 সমতুল্য
(iii) যদি R আৰু S সমমিত তেন্তে R∪S টোও সমমিত।
উত্তৰঃ
(iv) যদি R আৰু S স্বতুল্য তেন্তে R∩S স্বতুল্য।
উত্তৰঃ
10. ' যদি R আৰু S দুয়োটাই সংক্ৰামক সম্পৰ্ক তেন্তে R∪S টোও সংক্ৰামক' 一 এই উক্তিটো সত্য নহয় বুলি দেখুৱাবলৈ এটা উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ
ধৰো, R = {(1, 3)} আৰু S = {(3, 2)} দুয়োটাই সংক্ৰামক।
কিন্তু R∪S = {(1, 3), (3, 2)} ই সংক্ৰামক নহয়।
প্ৰমাণ কৰা হ'ল যে R আৰু S দুয়োটাই সংক্ৰামক হ'লে R∪S টোও সংক্ৰামক নহয়।
11. ধৰা হ'ল আয়তীয় কাৰ্টেজীয় সমতলৰ সৰল ৰেখাবিলাকৰ সংহতিটো L। যদি L ৰ ওপৰত এটা সম্পৰ্ক R ৰ সংজ্ঞা 'x, y ∈ L ৰ বাবে x টো y ৰ লম্ব' তেন্তে হয় নে নহয় কোৱা যে R (i) স্বতুল্য (ii) সমমিত (iii) সংক্ৰামক (iv) প্ৰতিসমমিত।
উত্তৰঃ
ধৰা হ'ল আয়তীয় কাৰ্টেজীয় সমতলৰ সৰলৰেেখাবিলাকৰ সংহতিটো L
সম্পৰ্কটো সমমিত কাৰণ L ⊥ m ⇒ m ⊥ L
∵ কোনো ৰেখা নিজে নিজৰ ওপৰত লম্ব নহয়, গতিকে ই স্বতুল্য নহয়।
আকৌ, L ⊥ m আৰু m ⊥ n হ'লে L ॥ n
∴ ই সংক্ৰামক নহয়।
12. প্ৰশ্ন 11 ত R ৰ সংজ্ঞা সলনি কৰি ' x টো y ৰ সমান্তৰাল' বুলি লৈ তাত দিয়া চৰ্তবোৰ সত্যাপন কৰা।
উত্তৰঃ
(i) সম্পৰ্কটো স্বতুল্য কাৰণ l ॥ l আৰু সকলো l ∈ L
(ii) সমমিত কাৰণ l ॥ m ⇒ m ॥ l
(iii) সংক্ৰামক কাৰণ, l ॥ m আৰু m ॥ n ⇒ l ॥ n
∴ R সম্পৰ্কটো সমতুল্য সম্পৰ্ক কিন্তু প্তিসমমিত নহয়।
13. তলত দিয়া সম্পৰ্ক কেইটাৰ লেখ অংকন কৰা।
(i) R = {(x, y) ∈ R x R : y = 2x + 1}
(ii) S = {(x, y) ∈ R x R : y ≥ x - 1}
উত্তৰঃ
(i) দিয়া আছে;
R = {(x, y) ∈ R x R : y = 2x + 1}
y = 2x + 1
|
x |
0 |
1 |
-1 |
|
y |
1 |
3 |
-1 |
এতিয়া, (0, 1), (1, 3), (-1, -1) বিন্দুবোৰ সমতলত উপস্থাপন কৰি আমি PQ সৰল ৰেখাডাল পাম।
(ii) দিয়া আছে;
S = {(x, y) ∈ R x R : y ≥ x - 1}
y = x - 1 ৰ বাবে লেখ অংকন কৰিম।
|
x |
1 |
2 |
3 |
|
y |
0 |
1 |
2 |
এতিয়া (1,0), (2, 1) আৰু (3, 2) বিন্দুকেইটা সমতলত উপস্থানত কৰি MN ৰেখাডাল পাম।
