অনুশীলনী 5.3
1. তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 2, 7, 12, …. (10 টা পদলৈ)
(ii) -37, -33, -29, …, (12 টা পদলৈ)
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …, (100 টা পদলৈ)
2. তলৰ যোগফল বিলাক নিৰ্ণয় কৰাঃ
(ii) 34 + 32 + 30 + … + 10
(iii) -5+(-8)+(-11)+⋯+(-230)
3. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ
(i) দিয়া আছে a = 5, d = 3, an = 50, n আৰু Sn উলিওৱা
(ii) দিয়া আছে a = 7, a13= 35, d আৰু S13 উলিওৱা
(iii) দিয়া আছে a12 = 37, d = 3, a আৰু S12 উলিওৱা
(iv) দিয়া আছে a3 = 15, S10 = 125, d আৰু a10 উলিওৱা
(v) দিয়া আছে d = 5, S9 = 75, a আৰু a9 উলিওৱা
(vi)দিয়া আছে a = 2, d = 8, Sn = 90, n আৰু anউলিওৱা
(vii)দিয়া আছে a = 8, an = 62, Sn = 210, n আৰু d উলিওৱা
(viii)দিয়া আছে an = 4, d = 2, Sn = -14, n আৰু a উলিওৱা
(ix)দিয়া আছে a = 3, n = 8, S = 192, d উলিওৱা
(x)দিয়া আছে l = 28, S = 144, আৰু মুঠ পদৰ সংখ্য়া 9;a উলিওৱা।
4. 9, 17, 25, …. এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কিমানটা পদৰ যোগফল 636 হ’ব?
5. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ 5, অন্তিম পদ 45 আৰু যোগফল 400 ।মুঠ পদৰ সংখ্য়া আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
6. এটা AP ৰ প্ৰথম পদ আৰু অন্তিম পদ ক্ৰমে 17 আৰু 350। যদি ইয়াৰ সাধানৰণ অন্তৰ 9, তেন্তে AP টোত কিমান পদ আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?
7. এটা AP ৰ d = 7 আৰু 22 তম পদটো 149 হ’লে ইয়াৰ প্ৰথম 22টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
8. এটা AP ৰ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় পদ ক্ৰমে 14 আৰু 18 হ’লে প্ৰথম 51 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
9. এটা AP ৰ প্ৰথম 7 টা পদৰ যোগফল 49 আৰু প্ৰথম 17 টা পদৰ যোগফল 289, AP টোৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
10. দেখুওৱা যে , a1 a2, a3, ......, an .... পদসমূহে এটা AP গঠনকৰে বাৰ a” ক তলত দিয়া দৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰাইছে___
i. An = 3+4n,
ii. An = 9- 5n
লগতে, প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ?
সমাধান: i. an = 3=4n
n = 1,2,3,4, ...... বহুৱাই পাওঁ_____
a1 = 3 + 4×1=3=4=7
a2 = 3 + 4×2=11
a3 = 3 + 4×3=15
a4 = 3 + 4×4=19
∴ a1 , a2, a3, ...... , an ...... = 7, 11, 15, 19, ...... , (3+4n) ....
a2 -a1 =11-7=4
a3 -a2 = 15-11=4
a4 -a3= 13-15=4
প্ৰথমপদ a=7 আৰু সাধাৰণ অন্ত d=4,
=s15= 525
ii. ইয়াত, an=9-5n
n= 1, 2, 3, 4, …... বহুৱাই পাওঁ__
a1= 9-5×1=4
a2= 9-5× 2= -1
a3= 9-5× 3= -6
a4= 9-5×4= -11
∴ a1, a2, a3, a4, ……. (an) ….. = 4, -1, -6, -11 .. (9-5n)…
আমি পাওঁ,__ a2-a1= -1-4= -5
a3-a2= -6-(-1)=-5
a4- a3= -11-(-6)=-50
প্ৰথমপদ a=4, আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d=-5
আমি জানো,
11. যদি এটা APৰ প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল 4n-n2 তেন্তে ইয়াৰ প্ৰথম পদ (31) কি? প্ৰথম পদ দুটাৰ যোগফল কিমান ? দ্বিতীয় পদটো কি? একেদৰে তৃতীয়, দশম আৰু n ৩ম পদটো নিৰ্ণয় কৰা?
সমাধান→ আমি পাওঁ,__
প্ৰথম nটা পদৰ যোগফল = 4n-n2
→ Sn= 4n-n2
N=1 বহুৱাই__
S1= 4×1-(1)2
=a1= 4-1
=a1= 3
∴ প্ৰথম পদ a1=3
N= 2 বহুৱাই ____
S2= 4×2- (2)2
=S2= 8-4
= S2= 4
দ্বিতীয় পদ a2=S2-S,
=a2= 4-3
=a2 = 1
n=3 বহুৱাই পাওঁ ___
S3= 4×3-(3)2
= 12-9
=3
তৃতীয় পদ a3= S3-32
=3-4
= -1
n=9বহুৱাই পাওঁ _______
S9= 4×9-(9)2
= S9= 36-81
= S9= -45
n=10বহুৱাই পাওঁ ______
S10= 4×10-(3)2
= S10= 40-100
= S10= -60
দশম পদ a10 = S10 -S9
= a10 = -60-(-45)
= a1 = -15
এতিয়া Sn-1 = 4(n-1)-(n-1)2
= Sn-1=4n-4-(n2-2n=1)
= Sn-1 = 6n-n2-5
∴ n তম পদ, ______ an= Sn -Sn-1
= an= (4n-n2)-(6n-n2-5)
=an= 5-2n
12. 6ৰে বিভাজ্য় প্ৰথম 40টা ধনাত্নক অখণ্ড সংখ্য়াৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান→ 6ৰে বিভাজ্য় 40 টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্য়া 6, 12, 18, 24, …..
প্ৰথম পদ a=6 আৰু সাধাৰণ অন্ত d=6
আমি জানো,
13. প্ৰথম 15টা 8 ৰ গুণিতকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান→ প্ৰথম 15টা 8 ৰ গুণিতক হৈছে – 8, 16, 24, 32, ….. প্ৰথম পদ a=8, আৰু সমাধান অন্ত d=8
আনি জানোঁ ___
14. 0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্য়াবিলাকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ?
সমাধান→ O আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্য়া বিলাক 1, 3, 5, .....
49।
প্ৰথম পদ a=1 সাধাৰণ অন্ত d=3
∴ an = ( = 49
আমি জানো,
an= a+ (n-1)d
15. এটা নিৰ্মান কাৰ্যৰঠিকাত নিৰ্মাণৰ কাম এটা নিধাৰিত তাৰিখতকৈ পলম হ’লে দিব লগা জৰিমনা এনে ধৰণৰ : প্ৰথম দিনা 200 টকা, দ্বিতীয় দিনা 250 টকা, তৃতীয় দিনা 300 টকা ইত্য়াদি। অৰ্থাৎ প্ৰতিটো পৰৱতী দিনৰ জৰিমনা তাৰ পূৰৱতী দিনতকৈ 50 টকা বেছি। ঠিকাদাৰ এজনে কামজো 30 দিন পলমকৈ সম্পূৰ্ন কৰিলে তেওঁ মুঠ কিমান টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব।
সমাধান:→ যিহেতু, প্ৰথম পদ a= 200 টকা
সাধাৰণ অন্ত d= 50 টকা
∴ n= 30
16. এখন বিদ্য়ালয়ৰ শিক্ষাৰ্থীসকলৰ বিদ্য়ায়তানিক ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা পাৰদশিৰ্তাৰ বাবে মুঠ 700 টাকৰ সাতটা নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰ দিব লগা হ’ল। যদি প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগৰ টোতকৈ 20 টকা কম হয় তেনে হলে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰক মুল্য় নিৰ্ণয় কৰা ?
সমাধান:→ ইয়াত, নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰৰ সংখ্য়া = 7
নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰৰ যোগফল = 700
সাধাৰণ অন্ত d= -20
প্ৰথম পুৰস্কাৰ মূল্য় a’
∴ সাতটা পুৰস্কাৰ মূল্য়
(160-20)=140 টকা
(140-20)=120 টকা
(120-20)= 100 টকা
(100-20)=80 টকা
(80-20)= 60 টকা
(60-20)= 40 টকা
(40-20)=20 টকা
17. এখন বিদ্য়ালয়ৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰী সকলে বায়ু প্ৰদূষণ ৰোধ উদ্দেশ্য় বিদ্য়ালয়ৰ চৌপাশে বৃক্ষ ৰোপন কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে। এই সিদ্ধান্ত লোৱা হ’ল যে প্ৰতিটো শাখাৰপৰা তেওঁলোকৰ পঢ়া শ্ৰেণীৰটোৰ সমসংখ্য়ক বৃক্ষৰোপন কৰিব। উদাহৰণ স্বৰূপে, প্ৰথম শ্ৰেণীএটাৰ শাখাই এজোপা, দ্বিতীয় শ্ৰেণী এটা শাখাই দুজোপা ইত্য়াদিকৈ গৈ সেইদৰে দ্বাদশ শ্ৰেণীলৈকেবৃক্ষ ৰোপম কৰিব। প্ৰতিটো ক্ষেণীৰে তিনিটা শাখা আছে। ছাত্ৰ-ছাত্ৰী বিলাকে মুঠতে কিমান জোপা গছ ৰোপন কৰিব?
সমাধান:→ যিহেতু, প্ৰতিটো ক্ষেণীত তিনিটা শাখা আছে।
∴ প্ৰথম, দ্বিতীয়,..... দ্বাদশ শ্ৰেণী ছাত্ৰ-ছাত্ৰী সকলে ৰোপন কৰা গছ ক্ৰমে _____
(3×1), (3×2) , …….., (3×12)
→ 3, 6, 9, …… , 36
ইয়াত, প্ৰথম পদ a= 3, আৰু সাধাৰণ অন্ত d=3 n=12 আৰু an= (= 36
18. চিত্ৰ 5.4 ত দেখুওৱাৰ দৰে 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm ব্য়াসাৰ্দ্ধৰ আনুক্ৰমিক ভাৱে থকা কিছুমান অৰ্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা এটি কুণ্ডলীসজোৱা হ’ ল । এই অৰ্ধবৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰ A ত আৰন্ভ। ই এটাৰ পিছত এটাকৈ ক্ৰমে A, B কৈ আছে। 13 টা একাদিক্ৰমে থকা অৰ্ধবৃত্তত দ্বাৰা গঠিত এনে এটা কুণ্ডলী মুঠ দৈঘ্য় কিমান ?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∁ 13= πr13 = π×6.5 cm = 0.5×13πcm.
কুণ্ডলীটোৰ মুঠ দৈঘ্য় _____
∁ = ∁1+ ∁2+ ∁3+ ……. + ∁13
= [ (0.5×π)+ (0.5×2π) + ………. + (0.5×13π) ]
প্ৰথম পদ a=1, সাধাৰণ অন্ত d=1, পদৰ সংখ্য়া n=13.
19. 200 টুকুৰা কাঠ এমেদৰে সজোৱা হ’ল: 20 টুকুৰা একেবাৰে তলৰ শাৰীত; তাৰ পিছৰ 19 টুকুৰা ; তাৰপিছত 18 টুকুৰা ইত্য়াদি। 200 টুকুৰা কাঠ কিমান শাৰীত সজোৱা হ’ল আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কেইটুকুৰা কাঠ আছে ?
সমাধান: → প্ৰত্য়েক শাৰীত থকা কাঠটুকুৰা অনুক্ৰনটো= 20, 19, 18, 17, …..
প্ৰথম পদ a= 20 আৰু সাধাৰণ অন্ত d= -1 ধৰা হ’ল 200 টুকুৰা কাঠ n টা শাৰী সজোৱা হৈছে।
হয় n-25 = 0 বা n-16 = 0
n= 25 = n = 16
∴ শাৰী সংখ্য়া 25 বা 16
∴ n = 25 টা শাৰী ক্ষেত্ৰত_____
a25 = 20+(25-1)×(-1)
= 20 + 24×(-1)
= 20-24
= -4
∴ 200 টুকুৰা কাঠ 16 টা শাৰীত আছে।
n = 16 টা শাৰীৰ ক্ষেত্ৰত
a16= 20+ ( 16-1)×(-1)
= 20-15
= 5
20. এটা আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতাত এটা বাল্টি আৰম্ভনি বিন্দু থোৱা আছে আৰু বাল্টিটো প্ৰথম আলুটোৰ পৰা 5m আঁতৰত আছে । এডাল সৰল ৰেখাত 3m আঁতৰে আঁতৰে আনবিলাক আলু আছে । ৰেখা ডালৰ মুঠতে 10 টা আলু আছে । এজন প্ৰতিযোগীয়ে বাল্টিটোৰ কাষ পৰা দৌৰি গৈ একেবাৰে ওচৰতে পোৱা আলুটো বুটলি লৈ উভতি দৌৰি আহি একেদৰে বাল্টিটোত থয়। এইদৰে তেওঁ দৌৰি দৌৰি শেষৰ আলুটোত বাল্টিটোত থয়। প্ৰতিযোগীজনে মুঠতে কিমান দূৰত্ব দৈৰিব লগা হ’ল ।
সমাধান: →
প্ৰথম আলু বুটলিবলৈ প্ৰতিযোগীজনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব
= (2×5) m
= 10 m
দ্বিতীয় আলুটো বুটলিবলৈ প্ৰতিযোগীজনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব
= 2×(5+3)
= 16 m
তৃতীয় আলুটো বুটলি প্ৰতিযোগীজনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব
= 2×(5+2 ×3)
= 22 m
চতুৰ্থ আলুটো বুটলিবলৈ প্ৰতিযোগীজনে কৰা দূৰত্ব = 2×(5+3×3)
= 28 m
∴ প্ৰতিযোগীজনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব ক্ৰমে 10, 16, 22, 28, …..
প্ৰথম পদ a= 10 আৰু সাধাৰণ অন্ত d=6, পদৰ সংখ্য়া n=10।
∴ মুঠতে প্ৰতিযোগীজনে অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব
Type- Rajashree Bora
