পাঠ ২
জটিল সংখ্যা
অনুশীলনী 2.3


1. তলৰ জটিল সংখ্যাবোৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বিন্দুবোৰ আৰ্গাণ্ড সমতলত স্থাপন কৰা 一
(a) 3 - 2i
(b) (1 - 2i)(2i + 5)
(c) - 7i
(d) 8
(e) 5 - 4i
(f) z, য'ত z হ'ল 4 - 3i ৰ সংযুগ্ম।

উত্তৰঃ
(a) 3 - 2i
A = (3, -2)

(b) (1 - 2i)(2i + 5)
= 1.2i + 1.5 - 2i.2i - 2i.5
= 2i + 5 + 4 - 10i
= 9 - 8i
B = (9, -8)

(c) - 7i
= 0 - 7i
C = (0, -7)

(d) 8
= 8 + 0.i
D = (8, 0)

(e) 5 - 4i
E = (5, -4)

(f) z, য'ত z হ'ল 4 - 3i ৰ সংযুগ্ম।
∴ z = 4 + 3i
F = (4, 3)


















2. তলৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰে মাপাংক নিৰ্ণয় কৰা 一
(a) 4 - 3i
ইয়াৰ মাপাংক
= | 4 - 3i |









(b) - 6 + 8i
ইয়াৰ মাপাংক হ'ল
= | 6 + 8i |









(c) (3 + 4i)(5 + 12i)
ইয়াৰ মাপাংক হ'ল
= | (3 + 4i)(5 + 12i) |



























3. আৰ্গাণ্ড চিত্ৰৰ সহায়ত দেখুওৱা যে 3 + 4i, -3 + 4i, -3 - 4i আৰু 3 - 4i সংখ্যাকেইটাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বিন্দুকেইটা ঐক্যকেন্দ্ৰিক। সেই বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্ধ উলিওৱা।
উত্তৰঃ 

















4. 
(a) দেখুওৱা যে -2 + 3i, -6 + i আৰু -10 - i সংখ্যাকেইটা বুজোৱা বিন্দুকেইটা একৰেখীয়।
উত্তৰঃ 
প্ৰদত্ত বিন্দুকেইটা হ'ল 一
-2 + 3i = A(-2, 3)
-6 + i = B(-6, 1)
-10 - i = (-9, -2)













(b) দেখুওৱা যে 1 +3i আৰু -2 - 6i সংখ্যা দুটাই বুজোৱা বিন্দু দুটাসংযোগী ৰেখাডাল মূলবিন্দুৰে যায়।
উত্তৰঃ 
প্ৰদত্ত বিন্দু কেইটা হৈছে 一
1 + 3i = A(1, 3)
-2 - 6i = B = (-2, - 6)




















(c) আৰ্গাণ্ড চিত্ৰৰ সহায়ত দেখুওৱা -2 +3i, 5 + 8i আু -9 - 2i সংখ্যাকেইটা বুজোৱা বিন্দুকেইটা একৰেখীয়।

















5. যদি z = x + iy আৰু |z - 5i/z + 5i| = 1 তেন্তে প্ৰাণ কৰা যে y = 0
উত্তৰঃ 

















6. 
(a) যদি z = x + iy আৰু |2z + 2| = |z + 2| তেন্তে দেখুওৱা যে x2 + y2 = 1.
উত্তৰঃ





















(b) যদি w = a + ib আৰু |w + 6| = |2w + 3| তেন্তে দেখুওৱা যে a2 + b2 = 9
উত্তৰঃ 
















7. যদি  = - z আৰু z ≠ 0 তেন্তে দেখুওৱা যে z এটা বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা।
উত্তৰঃ 















8. |z1| = |z2| = 1 তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে |z1 + z2| = |1/z1 +1/ z2|


9. যিকোনো এটা জটিল সংখ্যা z ৰ বাবে দেখুওৱা যে |z| + |z - 1| ৰ নিম্নতম মান 1।
উত্তৰঃ
আমি জানো, 
| z - (z - 1)| ≤ |z| + |z - 1|
⇒ |z - z + 1| ≤ |z| + |z - 1|
⇒ |1| ≤ |z| + |z - 1|
প্ৰমাণ কৰা হ'ল।

10. যদি z (≠1) এটা এনে জটিল সংখ্যা যে (z - 1)/(z + 1) এটা বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা তেন্তে দেখুওৱা যে |z| = 1 ( বা x2 + y2 = 1, য'ত z = x + iy)
উত্তৰঃ 
























11. যদি z1 = 4 - 3i  আৰু z2 = 2 + i তেন্তে তলত দিয়াবিলাক সত্য নে অসত্য চোৱা 一
(i) |z1z2| = |z1||z2|

    



















































∴ L.H.S = RH.S







































12. (a) প্ৰমাণ কৰা যে |z2| = |z|2 
উত্তৰঃ
ধৰো, 
z = a + ib
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে |z2| = |z|2 






















(b) যিকোনো এটা জটিল সংখ্যা z ৰ বাবে যদি | z + 1 | = | z - 1 | তেন্তে দেখুওৱা যে Re(z) = 0
উত্তৰঃ
ধৰো, z = x + iy