পাঠ ৩
অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত
অনুশীলনী 3.2


1. দেখুওৱা যে যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গফলক 3k বা 3k + 1 ৰূপত সজাব পাৰি।

উত্তৰঃ 
ধৰা হ'ল a যিকোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা
তেন্তে ইয়াৰ আকাৰ হ'ব 3q বা 3q + 1 বা 3q + 2
প্ৰথম ক্ষেত্ৰত, 
যেতিয়া a = 3q ৰ পৰা আমি পাওঁ,
a2 =  (3q)2 
    = 9q2 
    = 3.3q2 
    = 3k য'ত k = 3q2 

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত,
যেতিয়া a = 3q + 1 ৰ পৰা আমি পাওঁ,
a2 = (3q + 1)2 
    = 9q2 + 6q + 1
    = 3q(3q + 2) + 1
    = 3k + 1 য'ত k = q(3q + 2)

তৃতীয় ক্ষেত্ৰত,
যেতিয়া a = 3q + 2 ৰ পৰা আমি পাওঁ,
a2 = (3q + 2)2 
    = 9q2 + 12q + 4
    = 9q2 + 12q + 3 + 1
    = 3( 3q2 +4q + 1) + 1
    = 3k + 1 য'ত k = 3q2 + 4q + 1 
অৰ্থাৎ যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গফলক 3k বা 3k + 1 ৰূপত সজাব পাৰি।


2. দেখুওৱা যে যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলক 9k, 9k + 1 বা 9k + 8 ৰূপত সজাব পাৰি।

উত্তৰঃ 
ধৰা হ'ল, a যিকোনো এটা অখণ্ড সংখ্যা।
তেন্তে ইয়াৰ আকাৰ হ'ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2

প্ৰথম ক্ষেত্ৰত,
a = 3q
a3 =  (3q)3 
    = 27q3 
    = 9.3q3 
    = 3k য'ত k = 3q3 

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত
a = 3q + 1
a3 = (3q + 1)3 
    = 27q3 + 27q2 + 9q + 1
    = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1
    = 9k + 1 য'ত k = 3q3 + 3q2 + q

তৃতীয় ক্ষেত্ৰত,
a = 3q + 2
a3 = (3q + 2)3 
    = 27q3 + 54q2 + 36q + 8
    = 9(3q3 + 3q2 + 4) + 8
    = 9k + 8 য'ত k = 3q3 + 3q2 + q
অৰ্থাৎ যিকোনো অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলক 9k, 9ক + 1 বা 9k + 8 ৰূপত সজাব পাৰি।


3. n ∈ I ৰ বাবে প্ৰমাণ কৰা যে  এটা অখণ্ড সংখ্যা।

উত্তৰঃ 
ধৰো, n ∈ I
তেন্তে, ইয়াৰ আকাৰ হ'ব n = 6a, 6a + 1, 6a + 2, 6a + 3, 6a + 4 আৰু 6a + 5, a ∈ I
এতিয়া, যদি n = 6a তেন্তে































4. যিকোনো n ∈ I ৰ বাবে দেখুওৱা যে n(7n2 + 5) ক 6k, k ∈ I ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

উত্তৰঃ 
ধৰো, n ∈ I যাতে n = 6a + b, 0 ≤ b < 6
∴ n = 6a, 6a + 1, 6a + 2, 6a + 3, 6a + 4, 6a + 5
যদি, n = 6a, তেন্তে
n(7n2 + 5) = 6a{7.(6a)2 + 5}
                 = 6a(252a2 + 5) ∈ I

যদি, n = 6a + 1, তেন্তে
n(7n2 + 5) = (6a + 1){7.(6a + 1)2 + 5}
                 = (6a + 1){7.(36a2 + 12a + 1) + 5}
                 = (6a + 1)(252a2 + 84a + 7 + 5)
                 = (6a + 1)(252a2 + 84a + 12)
                 = 12(6a + 1)(21a2 + 7a + 1) ∈ I

যদি, n = 6a + 2, তেন্তে
n(7n2 + 5) = (6a + 2){7.(6a + 2)2 + 5}
                 = (6a + 2){7.(36a2 + 24a + 4) + 5}
                 = (6a + 2)(252a2 + 168a + 28 + 5)
                 = (6a + 2)(252a2 + 168a + 33)
                 = 12(3a + 1)(84a2 + 56a + 11) ∈ I
একেদৰে 6a + 3, 6a + 4 আৰু 6a + 5 ৰ বাবেও 
n(7n2 + 5) ক 6k, k ∈ I আকাৰত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।


5. n যিকোনো অযুগ্ম সংখ্যা হ'লে প্ৰমাণ কৰা যে n4 + 4n2 + 11 ক 16k, k ∈ I ধৰণে সজাব পাৰি।

উত্তৰঃ 
আমি জানো যে, এটা অয়ুগ্ম সংখ্যাৰ আকাৰ 4a + 1 আৰু 4a + 3, য'ত a ∈ I
প্ৰথম ক্ষেত্ৰতঃ যদি n = 4a + 1 তেন্তে 
n4 + 4n2 + 11 
= (4a +1)4 + 4(4a + 1)2 + 11
= {(4a + 1)2}2 + 4(16a2 + 8a + 1) + 11
= (16a2 + 8a + 1)2 + 64a2 + 32a + 4 + 11
= 256a4 + 64a2 + 1 + 256a2 + 16a + 32 + 64a2 + 32a + 15
= 256a4 + 384a2 + 48a + 48
= 16(16a4 + 24a2 + 3a + 3)
= 16k, য'ত k = 16a4 + 24a2 + 3a + 3

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰতঃ যদি n = 4a + 3 তেন্তে
n4 + 4n2 + 11 
= (4a + 3)4 + 4(4a + 3)2 + 11
= (4a + 3)2[(4a + 3)2 + 4] + 11
= (16a2 + 9 + 24a)(16a2 + 9 + 24a + 4) + 11
= (16a2 + 9 + 24a)(16a2 + 13 + 24a) + 11 
= 256a4 + 208a2 + 384a3 + 144a2 + 117 + 216a + 384a3 + 312a + 576a2 + 11
= 256a4 + 768a3 + 928a2 + 528a + 128
= 16(16a4 + 48a3 + 58a2 + 33a + 8)
= 16k, য'ত k = 16a4 + 48a3 + 58a2 + 33a + 8

∴ প্ৰমাণ কৰা হ'ল যে n যিকোনো অযুগম সংখ্যা হ'লে n4 + 4n2 + 11 ক 16k, k ∈ I ধৰণে সজাব পাৰি।


6. দেখুওৱা যে এটা সংখ্যা আৰু তাৰ ঘনফলক 6 ৰে ভাগ কৰিলে একেই ভাগফল পোৱা যায়।

উত্তৰঃ 
ধৰা হ'ল; a = 6q + r য'ত q & r ∈ I
আৰু 0 ≤ r < 6
∴ a = 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, 6q + 5
যদি, a = 6q
a3 - a = (6q)3 - 6q
         = 6q{(6q)2 -1}
         = 6q(36q2 -1), যি 6 ৰে বিভাজ্য।

যদি a = 6q + 1
a3 - a = (6q + 1)3 - (6q + 1)
         = (6q + 1){(6q + 1)2 - 1}
         = (6q + 1)(36q2 + 1 + 12q - 1)
         = (6q + 1)(36q2 + 12q)
         = 12q(6q + 1)(3q2 + q), যি 6 ৰে বিভাজ্য

যদি a = 6q + 2
a3 - a = (6q + 2)3 - (6q + 2)
         = (6q + 2){(6q + 2)2 - 1}
         = (6q + 2)(36q2 + 4 + 24q - 1)
         = (6q + 2)(36q2 + 24q + 3)
         = 6q(3q + 1)(12q2 + 8q + 1), যি 6 ৰে বিভাজ্য

যদি a = 6q + 3
a3 - a = (6q + 3)3 - (6q + 3)
         = (6q + 3){(6q + 3)2 - 1}
         = (6q + 3)(36q2 + 9 + 36q - 1)
         = (6q + 3)(36q2 + 36q + 8)
         = 12q(2q + 1)(9q2 + 9q + 2), যি 6 ৰে বিভাজ্য

যদি a = 6q + 4
a3 - a = (6q + 4)3 - (6q + 4)
         = (6q + 4){(6q + 4)2 - 1}
         = (6q + 4)(36q2 + 16 + 48q - 1)
         = (6q + 4)(36q2 + 48q + 15)
         = 6q(3q + 2)(12q2 + 16q + 5), যি 6 ৰে বিভাজ্য

যদি a = 6q + 5
a3 - a = (6q + 5)3 - (6q + 5)
         = (6q + 5){(6q + 5)2 - 1}
         = (6q + 5)(36q2 + 25 + 60q - 1)
         = (6q + 5)(36q2 + 60q + 24)
         = 12q(6q + 5)(3q2 + 5q + 2), যি 6 ৰে বিভাজ্য

দেখুওৱা হ'ল।


7. দেখুওৱা যে এটা সংখ্যা আৰু তাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য সদায় যুগ্ম সংখ্যা হয়।

উত্তৰঃ 
দেখুৱাব লাগে যে a ∈ I ৰ বাবে a2 - a
আমি জানো যে, যিকোনো যুগ্ম সংখ্যাৰ আকাৰ 2q
যদি a = 2q হয়, 
তেন্তে 
a2 - a = (2q)2 - 2q
          = 2q(2q - 1), 2 ৰে বিভাজ্য।
দেখুওৱা হ'ল।



Post ID: DABP001797