পাঠ ৩
অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত
অনুশীলনী 3.1


আৰোহণ পদ্ধতিৰে দেখুওৱা যে 一
1. 1 + 3 + 5 + ..... + (2n - 1) = n2 , n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 
ধৰো, 
S(n): 1 + 3 + 5 + ..... + (2n - 1) = n2 
এতিয়া, 
S(1): 2.1 - 1 = 1 = 12 = 1
যিটো সত্য,
আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ
S(k): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) = k2 
এতিয়া উভয় পক্ষত 2k + 1 যোগ কৰি আমি পাওঁ
S(k + 1): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)
= k2 + 2.k.1 + 12 
= (k + 1)2 
দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।
আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।


2. 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n(n + 1), n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 
ধৰো, 
S(n): 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n(n + 1) 
এতিয়া, 
S(1): 2.1 = 2 = n(n + 1) = 1(1 + 1) = 1.2 = 2
যিটো সত্য,
আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ
S(k): 2 + 4 + 6 + ..... + 2k = k(k + 1)
এতিয়া উভয় পক্ষত 2(k + 1) যোগ কৰি আমি পাওঁ
S(k + 1): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 1)(k + 2)
= (k + 1){(k + 1) + 1} 
দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।
আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।


3. 12 + 22 + 32 + ...... + n2 = , n ∈ ℕ 




 
  























4. 12 + 32 + 52 + ...... + n2 = 














5. 13 + 23 + 33 + ..... + n3 =  n ∈ ℕ 




























অৰ্থাৎ S(k+1) ও সত্য।
∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি সকলো  n ∈ ℕ ৰ বাবে S(n) সত্য।


6. 2 + 22 + 23 + 24 + ...... + 2n = 2(2n - 1)

উত্তৰঃ
ধৰো, 
S(n): 2 + 22 + 23 + 24 + ...... + 2n = 2(2n - 1)
এতিয়া, 
S(1): 21  = 2 = 1(21 - 1) = 2(2 - 1) = 2.1 = 2
যিটো সত্য,
আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ
S(k): 2 + 22 + 23 + 24 + ...... + 2k = 2(2k - 1)
এতিয়া উভয় পক্ষত 2k+1 যোগ কৰি আমি পাওঁ
S(k + 1): 2 + 22 + 23 + 24 + ...... + 2k + 2k+1 = 2(2k - 1) + 2k+1
= 2.2k - 2 + 2k+1
= 2k+1 - 2 + 2k+1
= 2.2k+1 - 2
= 2(2k+1 - 1)
দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।
আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।





























9. (2n + 7) < (n + 3)2 n ∈ ℕ
উত্তৰঃ
ধৰো, S(n): (2n + 7) < (n + 3)2 , n ∈ ℕ
S(1): (2.1 + 7) < (1 + 3)2 
⇒ 2 + 7 < 42 
⇒ 9 < 16
যিটো সত্য।
S(k) ৰ বাবেও উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ,
S(k): (2.k + 7) < (k + 3)2 
এতিয়া, দেখুৱাম যে উক্তিটো S(k + 1) ৰ বাবেও সত্য
S(k + 1): {2(k + 1) + 7} < {(k + 1) + 3}2 
⇒ 2k + 2 + 7 < (k + 4)2 
⇒ 2k + 9 < 16 + 8k + k2
⇒ 9 < 16 + 6k + k2  
অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।
∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।


10. 2n > n, n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 
ধৰো, S(n): 2n > n
এতিয়া S(1) ৰ বাবে 
S(1): 2.1 = 2 > 1 যিটো সত্য।
এতিয়া S(k0 ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ, 
S(k): 2k > 2
এতিয়া আমি দেখুৱাম যে S(k + 1) ও সত্য যাৰ বাবে আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে 一
2(k + 1) > k
এতিয়া,
2k + 2 > k + 2
⇒2(k + 1) > k + 2 > k + 1
⇒2(k + 1) > k + 1
অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।
∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।





















12. (1 + a)n ≥ 1 + an, n ∈ ℕ

উত্তৰঃ ধৰো, S(n): (1 + a)n ≥ 1 + an
এতিয়া, S(1): (1 + a)1 = 1 + a ≥ 1 + a.1 = 1 + a যিটো সত্য।
ধৰা হ'ল উক্তিটো S(k) ৰ বাবে সত্য যাতে
S(k): (1 + a)k ≥ 1 + ak
এতিয়া প্ৰমাণ কৰিম যে উক্তিটো S(k + 1) ৰ বাবে সত্য, যাৰ বাবে আমি দেখুৱাব লাগে যে
(1 + a)k + 1 ≥ 1 + a(k + 1)
এতিয়া,  (1 + a)k(1 + a) ≥ (1 + ak)(1 + a)
⇒ (1 + a)k + 1 ≥ 1 + a + ak + ka2 
⇒ (1 + a)k + 1 ≥ 1 + a(k + 1) + ka2
⇒ (1 + a)k + 1 ≥ 1 + a(k + 1) ∵ ka2 ≥ 0
অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।
∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।



Post ID: DABP001800