অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত | Lesson 3 | Exercise 3.1 | Class 10 Advanced Mathematics Solution Assam | Class 10 Adv Maths Solution Assamese Medium | দশম শ্ৰেণীৰ উচ্চ গণিতৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ |

পাঠ ৩

অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত

অনুশীলনী 3.1

আৰোহণ পদ্ধতিৰে দেখুওৱা যে 一

1. 1 + 3 + 5 + ..... + (2n - 1) = n² , n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 

ধৰো, 

S(n): 1 + 3 + 5 + ..... + (2n - 1) = n² 

এতিয়া, 

S(1): 2.1 - 1 = 1 = 1² = 1

যিটো সত্য,

আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ

S(k): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) = k² 

এতিয়া উভয় পক্ষত 2k + 1 যোগ কৰি আমি পাওঁ

S(k + 1): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1)

= k² + 2.k.1 + 1² 

= (k + 1)² 

দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।

আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

2. 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n(n + 1), n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 

ধৰো, 

S(n): 2 + 4 + 6 + ..... + 2n = n(n + 1) 

এতিয়া, 

S(1): 2.1 = 2 = n(n + 1) = 1(1 + 1) = 1.2 = 2

যিটো সত্য,

আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ

S(k): 2 + 4 + 6 + ..... + 2k = k(k + 1)

এতিয়া উভয় পক্ষত 2(k + 1) যোগ কৰি আমি পাওঁ

S(k + 1): 1 + 3 + 5 + ..... + (2k - 1) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

= (k + 1)(k + 2)

= (k + 1){(k + 1) + 1} 

দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।

আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

3. 1² + 2² + 3² + ...... + n² = , n ∈ ℕ 

 

  

4. 1² + 3² + 5² + ...... + n² = 

5. 1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³ =  n ∈ ℕ 

অৰ্থাৎ S(k+1) ও সত্য।

∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি সকলো  n ∈ ℕ ৰ বাবে S(n) সত্য।

6. 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ...... + 2ⁿ = 2(2ⁿ - 1)

উত্তৰঃ

ধৰো, 

S(n): 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ...... + 2ⁿ = 2(2ⁿ - 1)

এতিয়া, 

S(1): 2¹  = 2 = 1(2¹ - 1) = 2(2 - 1) = 2.1 = 2

যিটো সত্য,

আকৌ S(k) ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ

S(k): 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ...... + 2^k = 2(2^k - 1)

এতিয়া উভয় পক্ষত 2^k+1 যোগ কৰি আমি পাওঁ

S(k + 1): 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ...... + 2^k + 2^k+1 = 2(2^k - 1) + 2^k+1

= 2.2k - 2 + 2^k+1

= 2^k+1 - 2 + 2^k+1

= 2.2^k+1 - 2

= 2(2^k+1 - 1)

দেখা গ'ল যে S(k + 1) ও সত্য।

আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

9. (2n + 7) < (n + 3)² n ∈ ℕ

উত্তৰঃ

ধৰো, S(n): (2n + 7) < (n + 3)² , n ∈ ℕ

S(1): (2.1 + 7) < (1 + 3)² 

⇒ 2 + 7 < 4² 

⇒ 9 < 16

যিটো সত্য।

S(k) ৰ বাবেও উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ,

S(k): (2.k + 7) < (k + 3)² 

এতিয়া, দেখুৱাম যে উক্তিটো S(k + 1) ৰ বাবেও সত্য

S(k + 1): {2(k + 1) + 7} < {(k + 1) + 3}² 

⇒ 2k + 2 + 7 < (k + 4)² 

⇒ 2k + 9 < 16 + 8k + k²

⇒ 9 < 16 + 6k + k²  

অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।

∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

10. 2n > n, n ∈ ℕ

উত্তৰঃ 

ধৰো, S(n): 2n > n

এতিয়া S(1) ৰ বাবে 

S(1): 2.1 = 2 > 1 যিটো সত্য।

এতিয়া S(k0 ৰ বাবে উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লৈ, 

S(k): 2k > 2

এতিয়া আমি দেখুৱাম যে S(k + 1) ও সত্য যাৰ বাবে আমি প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে 一

2(k + 1) > k

এতিয়া,

2k + 2 > k + 2

⇒2(k + 1) > k + 2 > k + 1

⇒2(k + 1) > k + 1

অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।

∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

12. (1 + a)ⁿ ≥ 1 + an, n ∈ ℕ

উত্তৰঃ ধৰো, S(n): (1 + a)ⁿ ≥ 1 + an

এতিয়া, S(1): (1 + a)¹ = 1 + a ≥ 1 + a.1 = 1 + a যিটো সত্য।

ধৰা হ'ল উক্তিটো S(k) ৰ বাবে সত্য যাতে

S(k): (1 + a)^k ≥ 1 + ak

এতিয়া প্ৰমাণ কৰিম যে উক্তিটো S(k + 1) ৰ বাবে সত্য, যাৰ বাবে আমি দেখুৱাব লাগে যে

(1 + a)^{k + 1} ≥ 1 + a(k + 1)

এতিয়া,  (1 + a)^k(1 + a) ≥ (1 + ak)(1 + a)

⇒ (1 + a)^{k + 1} ≥ 1 + a + ak + ka² 

⇒ (1 + a)^{k + 1} ≥ 1 + a(k + 1) + ka²

⇒ (1 + a)^{k + 1} ≥ 1 + a(k + 1) ∵ ka² ≥ 0

অৰ্থাৎ S(k + 1) ও সত্য।

∴ আৰোহণ পদ্ধতি অনুসৰি S(n) সকলো n ∈ ℕ ৰ বাবে সত্য।

- Hiru Moni Bora

Post ID: DABP001800