অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত | Arithmetic of Integers | Lesson 3 | Exercise 3.3 | Class 10 Advanced Mathematics Solution Assamese Medium | Class 10 Adv Maths Solution Assam | দশম শ্ৰেণীৰ উচ্চ গণিতৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ |

পাঠ ৩

অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত

Arithmetic of Integers

Exercise 3.3

1. যদি a | b, তেন্তে দেখুওৱা যে,

- a | b, a | -b আৰু - a | - b

উত্তৰঃ দিয়া আছে, 

a | b ⇒ b/a এটা অখণ্ড সংখ্যা

       ⇒ b/a = k ধৰা হ'ল k ∈ z

       ⇒ a = ak

k = -1 হ'লে, b = -a ⇒ -a | b

বা -b = a ⇒ a | -b

k = 1 হ'লে b = a বা -b = -a ⇒ -a | -b

2. যদি a, b, c, d নিৰ্দিষ্ট অখণ্ড সংখ্যা তেন্তে দেখুওৱা যে

(i) a | b ⇒ a | bc

(ii) a | b, a | c ⇒ a² | bc

উত্তৰঃ 

(ii) আমি জোনো যে, 

যদি, a | b আৰু c | d তেন্তে ac | bd

গতিকে, a | b, a | c ⇒ a² | bc

3. সত্যাসত্য বিচাৰ কৰা ( সত্য হ'লে প্ৰমাণ কৰা আৰু অসত্য হ'লে বিৰোধসূচক উদাহৰণ আগবঢ়োৱা )

(i) a | b + c ⇒ a | b বা a | c

(ii) a | n, b | n ⇒ ab | n

উত্তৰঃ 

(ii) a | n, b | n ⇒ ab | n

সত্য।

যেনে 2 | 6, 3 | 6 ⇒ 2 x 3 | 6

4. যিকোনো স্বাভাৱিক সংখ্যা n ৰ বাবে দেখুওৱা যে 

(a) (i) 2ⁿ + (-1)ⁿ⁺¹ , 3 ৰে বিভাজ্য

উত্তৰঃ 

n = 1 হ'লে, 

2ⁿ + (-1)ⁿ⁺¹ = 2¹ + (-1)¹⁺¹ = 2 + 1 = 3, 3 ৰে বিভাজ্য

n = 2 হ'লে,

2ⁿ + (-1)ⁿ⁺¹ = 2² + (-1)²⁺¹ = 4 + (-1)³ = 4 - 1 = 3, 3 ৰে বিভাজ্য

ধৰো, n = k হ'লে 2^k + (-1)^k+1 , 3 ৰে বিভাজ্য।

আৰু n = k + 1 হ'লে,

2ⁿ + (-1)ⁿ⁺¹ = 2^k+1 + (-1)^k+1+1 = 2.2^k + (-1)^k+2 = 2

     (ii) 

5. প্ৰমাণ কৰা যে 一

(a) প্ৰত্য়েক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গক 3k বা 3k + 1 ৰূপত সজাব পৰা যাব।

উত্তৰঃ 

ধৰা হ'ল a এটা অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আকাৰ হ'ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2

প্ৰথম ক্ষত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q ⇒ a² = 3q² = 9q² = 3.3q² = 3k য'ত k = 3q² 

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q + 1 ⇒ a² = (3q + 1)² = 9q² + 1 + 6q = 3(3q² + 2q) + 1 = 3k + 1, য'ত k = 3q² + 2q

তৃতীয় ক্ষেত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q + 2 ⇒ a² = (3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3k + 1, য'ত k = 3q² + 4q + 1

অৰ্থাৎ প্ৰত্য়েক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গক 3k বা 3k + 1 ৰূপত সজাব পৰা যাব।

(b)ঘনফলক 9k, 9k + 1, 9k + 8 ৰ কোনো এক ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

উত্তৰঃ 

ধৰা হ'ল a এটা অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আকাৰ হ'ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2

প্ৰথম ক্ষত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q ⇒ a³ = 3q³ = 27q³ = 9.3q² = 9k য'ত k = 3q² 

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q + 1 ⇒ a³ = (3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9k + 1, য'ত k = 3q³ + 3q² + q

তৃতীয় ক্ষেত্ৰত,

যেতিয়া, a = 3q + 2 ⇒ a² = (3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 9(3q² + 4q + 1) + 1 = 9k + 1, য'ত k = 3q² + 4q + 1

অৰ্থাৎ প্ৰত্য়েক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনক 9k বা 9k + 1 ৰূপত সজাব পৰা যাব।

7. ইউক্লিডীয় কলনৰ সহায়ত নিৰ্ণয় কৰা

(i) গ.সা.উ (72, 120)

উত্তৰঃ দিয়া সংখ্যা দুটা 72 আৰু 120

এতিয়া, 120 = 72 x 1 + 48

72 = 48 x 1 + 24

48 = 24 x 2 + 0

অন্তিম অশূণ্য ভাগশেষটো হৈছে 24

∴ গ.সা.উ (72, 120) = 24

(ii) গ.সা.উ (56, -36)

উত্তৰঃ দিয়া সংখ্যা দুটা 56 আৰু (-36)

এতিয়া, 56 = 36 x 1 + 20

36 = 20 x 1 + 16

20 = 16 x 1 + 4

16 = 4 x 4 + 0

অন্তিম অশূণ্য ভাগশেষটো হৈছে 4

∴ গ.সা.উ (56, -36) = 4 [∵ গ.সা.উ (a, b)  = গ.সা.উ (a, -b)]

(iii) গ.সা.উ (13, 80)

উত্তৰঃ দিয়া সংখ্যা দুটা 13 আৰু 80

এতিয়া, 80 = 13 x 6 + 2

13 = 2 x 6 + 1

2 = 1 x 2 + 0

অন্তিম অশূণ্য ভাগশেষটো হৈছে 1

∴ গ.সা.উ (13, 80) = 1

8. দুটা অখণ্ড সংখ্যা u আৰু v নিৰ্ণয় কৰা যাতে

(i) 20u + 63v = 1

উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা হ'ল 20 আৰু 63

এতিয়া, 63 = 20 x 3 + 3.....(i)

             20 = 3 x 6 + 2......(ii)

               3 = 2 x 1 + 1.....(iii)

               2 = 1 x 2 + 0.....(iv)

গ.সা.উ (20, 63) = 1

এতিয়া, (iii) ⇒ 3 = 2 x 1 + 1

⇒ 1 = 3 - 1 x 2

       = 3 - 1 x (20 - 3 x 6) [(ii) ৰ পৰা ]

       = 3 -1 x 20 + 3 x 6

       = 3(1 + 6) - 1 x 20

       = 3 x 7 - 1 x 20

       = 7 x (63 - 20 x 3) - 1 x 20

       = 7 x 63 - 20 x 21 - 1 x 20

       = 63 x 7 - 20 x 22 

∴ গ.সা.উ (20, 63) = 1 = 20u + 63v ত u = -22 আৰু v = 7

(ii) 30u + 72v = 12

উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা 30 আৰু 72 

72 = 30 x 2 + 12.....(i)

30 = 12 x 2 + 6.....(ii)

12 = 6 x 2 + 0.....(iii)

গ.সা.উ (30, 72) = 6

এতিয়া, (ii) ⇒ 30 = 12 x 2 + 6

⇒ 6 = 30 - 12 x 2

       = 30 - (72 - 30 x 2) x 2

       = 30 - 72 x 2 + 30 x 4

       = 30 x 5 + 72 x (-2)

⇒ 12 = 30 x 10 + 72 x (-4)

∴ 12 = 30u + 72v ত u = 10 আৰু v = -4

(iii) 52u - 91v = 78

উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা হ'ল 52 আৰু 91

এতিয়া 91 = 52 x 1 + 39.....(i)

            52 = 39 x 1 + 13.....(ii)

            39 = 13 x 3 + 0.....(iii)

∴ গ.সা.উ (52, 91) = 13

এতিয়া, (ii) ⇒ 52 = 39 x 1 + 13

                  ⇒ 13 = 52 - 39 x 1

                           = 52 - (91 - 52 x 1)

                           = 52 - 91 + 52

                           = 52 x 2 + 91 x (-1)

                 ⇒ 78 = 52 x 12 - 91 x 6

∴ 78 = 52u - 91v ত u = 12 আৰু v = 6

(iv) 24u + 138v = 6

উত্তৰঃ সংখ্যা দুটা হ'ল 24 আৰু 138

এতিয়া, 138 = 24 x 5 + 18.....(i)

              24 = 18 x 1 + 6.....(ii)

              18 = 6 x 3 + 0.....(iii)

∴ গ.সা.উ (24, 138) = 6

এতিয়া, (ii) ⇒ 24 = 18 x 1 + 6

                  ⇒ 6 = 24 - 18 x 1

                         = 24 - (138 - 24 x 5)

                         = 24 - 138 + 24 x 5

                         = 24 x 6 + 138 x (-1)

∴ গ.সা.উ = 6 = 24u + 138v ত u = 6 আৰু v = -1

9. (i) যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা a ৰ বাবে দেখুওৱা যে গ.সা.উ (2a + 1, 9a + 4) = 1

উত্তৰঃ

ধৰা হ'ল, গ.সা.উ (2a + 1, 9a + 4) = d

∴ d|2a + 1 আৰু d | 9a + 4    [ ∵ a|b আৰু a|c হ'লে a| bx + cy]

⇒ d|9(2a + 1) - 2(9a + 4)

⇒ d|18a + 9 - 18a - 8

⇒ d|1

∴ গ.সা.উ (2a + 1, 9a + 4) = 1

(ii) যিকোনো অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা a ৰ ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা যে গ.সা.উ (3a, 3a + 2)

উত্তৰঃ 

ধৰা হ'ল, গ.সা.উ (3a. 3a + 2) = d

∴ d|3a আৰু d|3a + 2

⇒ d| 3a + 3 + (3a + 2)(-1)

⇒ d|3a + 3 - 3a - 2

⇒ d|1

∴ গ.সা.উ (3a, 3a + 2) = 1

10. ল.সা.গু (306, 657) আৰু ল.সা.গু (111, 273) নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

প্ৰথমতে 306 আৰু 657 ৰ গ.সা.উ

657 = 306 x 2 + 45

306 = 45 x 6 + 36

45 = 36 x 1 + 9

36 = 9 x 4 + 0

∴ গ.সা.উ (306, 657) = 9

আমি জানো যে 

ল.সা.গু(a, b) x গ.সা.উ (a, b) = a b

⇒ ল.সা.গু (306, 657) x গ.সা.উ (306, 657) = 306 x 657

⇒ ল.সা.গু (306, 657) x 9 = 306 x 657

⇒ ল.সা.গু (306, 657) = 22,338

আকৌ 111 আৰু 273 ৰ

273 = 111 x 2 + 51

111 = 51 x 2 + 9

51 = 9 x 6 + 6

9 = 6 x 1 + 3

6 = 3 x 2 + 0

∴ গ.সা.উ (111, 273) = 3

আমি জানো যে 

ল.সা.গু (a, b) x গ.সা.উ (a, b) = a b

⇒ ল.সা.গু (a, b) x 3 = 111 x 273

⇒ ল.সাগু (a, b) = 10,101

- Hiru Moni Bora

Post ID: DABP001868