পাঠ ৩
অখণ্ড সংখ্যাৰ পাটীগণিত
অনুশীলনী 3.4
1. মিম্নোক্ত সংখ্যাবোৰক মৌলিক উৎপাদকৰ গুণফলত প্ৰকাশ কৰা।
1234, 10140, 72149, 41531, 1020305
উত্তৰঃ
1234 = 2 x 617
10140 = 2 x 2 x 3 x 5 x 13 x 13
72149 = 7 x 11 x 937
41531 = 7 x 17 x 349
1020305 = 5 x 11 x 13 x 1427
2. প্ৰশ্ন-1 ত উল্লেখিত সংখ্যাবোৰ মৌলিক নে যৌগিক পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ∵ সংখ্যাবোৰৰ উৎপাদক দুটাতকৈ বেছি গতিকে সংখ্যাবোৰ যৌগিক।
3. n2 - n আকাৰত লিখিব পৰা 5 টা মৌলিক সংখ্যা উল্লেখ কৰা।
উত্তৰঃ
n = 2 হ'লে n2 - 2 = 22 - 2 = 4 - 2 = 2
n = 3 হ'লে n2 - 2 = 32 -2 = 9 - 2 = 7
n = 5 হ'লে n2 - 2 = 52 - 2 = 25 - 2 = 23
n = 7 হ'লে n2 -2 = 72 - 2 = 49 - 2 = 47
n = 9 হ'লে n2 -2 = 92 - 2 = 81 - 2 = 79
4. দিয়া আছে যে p এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু p|an
প্ৰমাণ কৰা যে pn|an, ≥ 1
উত্তৰঃ দিয়া আছে, p এটা মৌলিক সংখ্যা আৰু p|an
∵ p|an
⇒ p|a1.a2.a3.......an
⇒ p|a1.p|a2.p|a3.......p|an
⇒ pn|an, n ≥ 1 প্ৰমাণ কৰা হ'ল।
5. সকলো অখণ্ড সংখ্যা n ≥ 2 ৰ বাবে n4 + 4 সংখ্যাটো যৌগিক বুলি দেখুওৱা।
উত্তৰঃ
n4 + 4, n ≥ 2
= (n2)2 + 4
= (n2)2 + 22
= (n2 + 2)2 - 4n2
= (n2 + 2 + 2n)(n2 + 2 - 2n)
= (n2 + 2n + 2)(n2 - 2n + 2)
অৰ্থাৎ, n4 + 4 সংখ্যাটো যৌগিক।
6. সকলো অখণ্ড সংখ্যা n ≥ 1 ৰ বাবে দেখুওৱা যে 8n + 1 এটা যৌগিক।
উত্তৰঃ
8n + 1, n ≥ 1
= (23)n + 1
= (2n)3 + 13
= (2n + 1){(2n)2 - 2n.1 + 12}
= (2n + 1){(22n - 2n + 1}
7. ক্ষুদ্ৰতম কি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে নিম্নোক্ত সংখ্যাবোৰ পূৰ্ণবৰ্গ হ'ব?
(i) 3675 (ii) 4374 (iii) 18375 (iv) 74088
উত্তৰঃ
(i) 3675 = 3 x 5 x 5 x 7 x 7
∴ 3675 ক 3 ৰে পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণবৰ্গ হ'ব।
(ii) 4374 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
∴ 4374 ক 6 ৰে পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণবৰ্গ হ'ব।
(iii) 18375 = 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 7
∴ 18375 ক 15 ৰে পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণবৰ্গ হ'ব।
(iv) 74088 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7 x 7 x 7
∴ 74088 ক 42 ৰে পূৰ্ণ কৰিলে ই পূৰ্ণবৰ্গ হ'ব।
8. ক্ষুদ্ৰতম কি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰে পূৰণ কৰিলে নিম্নোক্ত সংখ্যাবোৰ পূৰ্ণঘন সংখ্যা হ'ব?
7623 আৰু 109350
উত্তৰঃ
7623 = 3 x 3 x 7 x 11 x 11
∴ 7623 ক 1617 ৰে পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণঘন সংখ্যা হ'ব।
109350 = 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 x 5
∴ 109350 ক 180 পূৰণ কৰিলে ই পূৰ্ণঘন হ'ব।
9. কিমান বিভিন্ন ধৰণে 1056 ক দুটা উৎপাদকৰ গুনফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি? আটাইবোৰ যোৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 1056 = 25 x 3 x 11
∴ দুটা উৎপাদকৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পৰা যোৰকেইটা হৈছে 一
(2, 24 x 3 x 11), (22, 23 x 3 x 11), (23, 22 x 3 x 11), ( 24, 2 x 3 x 11), (3, 25 x 11), (11, 25 x 3), (2 x 3, 24 x 11), (22 x 3, 23 x 11), (23 x 3, 22 x 11), (24 x 3, 2 x 11), (3 x 11, 25)
10. দেখুওৱা যে যিকোনো n > 1 ৰ বাবে n4 + 4 আকাৰৰ সংখ্যাবোৰ সদায় যৌগিক।
উত্তৰঃ
n4 + 4, n > 1
= n4 + 4
= (n2)2 + 22
= (n2 + 2)2 - 4n2
= (n2 + 2)2 - (2n)2
= (n2 + 2 + 2n)(n2 + 2 - 2n)
∴ যিকোনো n > 1, n ∈ I ৰ বাবে n4 + 4 আকাৰৰ সংখ্যাবোৰ সদায় যৌগিক।
11. 701 আৰু 1009 সংখ্যা দুটা মৌলিক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ যদি a 701 ৰ উৎপাদকবোৰৰ ভিতৰত ক্ষুদ্ৰতম হয়, তেন্তে a < √701
অৰ্থাৎ 26 < √701 < 27
26 তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাবোৰ হৈছে 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
701 ক এই মৌলিক সংখ্যাবোৰৰ কোনো এটাই বিভাজ্য নহয়। সেয়েহে 701 সংখ্যাটো মৌলিক।
আকৌ, যদি b 1009 ৰ ক্ষুদ্ৰতম উৎপাদক হয়, তেন্তে b < √1009
অৰ্থাৎ 31 < √1009 < 32
31 তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যাবোৰ হৈছে 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
1009 ক এই ণৌলিক সংখ্যাবোৰৰ কোনোটোৰেই বিভাজ্য নহয়। সেয়েহে ই মৌলিক।
Post ID: DABP001900
