সাধাৰণ ঘাতাংকৰ প্ৰয়োগ | Application of common logarithm | Lesson 5 | Exercise 5 | Class 10 Advanced Mathematics Solution Assamese Medium | Class 10 Advanced Maths Solution Assam | দশম শ্ৰেণীৰ উচ্চ গণিতৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ |

পাঠ ৫

সাধাৰণ ঘাতাংকৰ প্ৰয়োগ

Application of common Logarithm

অনুশীলনী 5

1. তলৰ ঘাতাংকবোৰৰ পূৰ্ণক লিখা।

(i) log 6987

∴ পূৰ্ণক = 4 - 1 = 3

(ii) log 256987

∴ পূৰ্ণক = 6 - 1 = 5

(iii) log 0.000089

∴ পূৰ্ণক = -(4 + 1) = -5

(iv) log 4.68

∴ পূৰ্ণক = 1 - 1 = 0

(v) log 0.7491

∴ পূৰ্ণক = - (0 + 1) = -1

(vi) log 1

∴ পূৰ্ণক = 1 - 1 = 0

(vii) log 35.492

∴ পূৰ্ণক = 2 - 1 = 1

(viii) log 36

∴ পূৰ্ণক = 2 - 1 = 1

(ix) log 0.00305

∴ পূৰ্ণক = -(2 + 1) = -3

(x) log 1.965

∴ পূৰ্ণক = 1 - 1 = 0

2. যদি log 2925 = 3.46612 তেন্তে log 29.25, log 2.925, log 0.002925 আৰু log 292500 মান নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে;

log 2925 = 3.46612

∴ log 29.25 = log 2925 x 10^-2 

                   = -2 + 3.46612

                   = 1.46612

log 2.925 = log 2925 x 10^-3 

                = -3 + 3.46612

                = 0.46612

log0.002925 = log2925 x 10^-6 

                   = - 6 + 3.46612

                   = - 3.46612

log 292500 = log2925 x 10² 

                   = 2 + 3.46612

                   = 5.46612

3. তালিকাৰ সহায়ত প্ৰতিঘাতাংক উলিওৱা।

(i) 3.1465

= 3 + 0.1465

প্ৰতিঘাতাংক ৰ তালিকাত 0.1465 ৰ অনুৰূপে পোৱা সংখ্যাটো 14012 আৰু ইয়াৰ পূৰ্ণক 3

∴ Antilog(3.1465) = 1401.2

(iv) -2.7917

= -2 + (-0.7917)

= -3 + (1 - 0.7917)

= -3 + 0.2083

প্ৰতিঘাতাংকৰ তালিকাৰ পৰা 0.2083 ৰ অনুৰূপে পোৱা সংখ্যাটো 16155 আকৌ পূৰ্ণক -3 

∴ Antilog(-2.7917) = 0.0016155

(v) 2.5591

= 2 + 0.5591

প্ৰতিঘাতাংকৰ তালিকাৰ পৰা 0.5591 ৰ অনুৰূপে পোৱা সংখ্যাটো 36232 আকৌ পূৰ্ণক 2

∴ Antilog(2.5591) = 362.32

4. দিয়া আচে যে log2 = 0.30103, log3 = 0.47712 আৰু log5 = 0.69897, মান উলিওৱা।

(i) log0.002 = log2 x 10^-3 

                   = -3 + 0.30103

                   = -3.30103

(ii) log25 = log5² 

               = 2 x 0.69897

               = 1.39794

(iii) log7.2 = log72 x 10^-1 

                 = -1 + log(2³ x 3²)

                 = -1 + 3log2 + 2log3

                 = -1 + 3 x 0.30103 + 2 x 0.47712

                 = -1 + 0.90309 + 0.95424

                 = 0.85733

(iv) log300 = log3 x 10² 

                  = 2 + 0.47712

                  = 2.47712

(v) log0.15 = log15 x 10^-2 

                  = -2 + log(3 x 5)

                  = -2 + log3 + log5

                  = -2 + 0.47712 + 0.69897

                  = -1.17609

5. তলৰ ,সংখ্যাবোৰত কেইটাকৈ অংক আছে নিৰ্ণয় কৰাঃ

(i) 2²⁰ 

ধৰো, x = 2²⁰ 

∴ logx = log2²⁰ 

            = 20 x log2

            = 20 x 0.30103

            = 6.0206

            = 6 + 0.0206

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 6

∴ 2²⁰ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 6 + 1 = 7

(ii) 2²⁵ 

ধৰো, x = 2²⁵ 

∴ logx = log2²⁵ 

           = 25 x log2

           = 25 x 0.30103

           = 7.52575

           = 7 + 0.52575

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 7

∴ 2²⁵ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 7 + 1 = 8

(iii) 3¹⁷ 

ধৰো, x = 3¹⁷ 

∴ logx = log3¹⁷ 

           = 17 x log3

           = 17 x 0.47712

           = 8.11104

           = 8 + 0.11104

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 8

∴ 3¹⁷ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 8 + 1 = 9

(iv) 5¹⁵ 

ধৰো, x = 5¹⁵ 

logx = log5¹⁵ 

        = 15 x log5

        = 15 x 0.69897

        = 10.48455

        = 10 + 0.48455

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 10

∴ 5¹⁵ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 10 + 1 = 11

(v) 6²⁰ 

ধৰো, x = 6²⁰ 

∴ logx = log6²⁰ 

           = 20 x log6

           = 20 x log(2 x 3)

           = 20 x (log2 + log3)

           = 20 x (0.30103 + 0.47712)

           = 20 x 0.77815

           = 15.563

           = 15 + 0.563

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 15

∴ 6²⁰ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 15 + 1 = 16

(vi) 7¹³ 

ধৰো, x = 7¹³ 

∴ logx = log7¹³ 

           = 13 x log7

           = 13 x 0.8451

           = 10.9863

           = 10 + 0.9863

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 10

∴ 7¹³ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 10 + 1 = 11

(vii) 2²⁰⁰ x 3¹⁰ 

ধৰো, x = 2²⁰⁰ x 3¹⁰ 

∴ logx = log(2²⁰⁰ x 3¹⁰)

           = log2²⁰⁰ + log3¹⁰ 

           = 200 x log2 + 10 x log3

           = 200 x 0.30103 + 10 x 0.47712

           = 60.206 + 4.7712

           = 64.9772

           = 64 + 0.9772

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 64

∴ 200²⁰⁰ x 3¹⁰ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 64 + 1 = 65

(viii) 3¹² x 2⁸ 

ধৰো, x = 3¹² x 2⁸ 

∴ logx = log(3¹² x 2⁸)

           = log3¹² + log2⁸ 

           = 12 x log3 + 8 x log2

           = 12 x 0.47712 + 8 x 0.30103

           = 5.72544 + 2.40824

           = 8.13368

           = 8 + 0.13368

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 8

∴ 3¹² x 2⁸ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 8 + 1 = 9

(ix) 2¹⁰⁰ 

ধৰো, x =  2¹⁰⁰ 

∴ logx = log 2¹⁰⁰ 

           = 100 x log2

           = 100 x 0.30103

           = 30.103

           = 30 + 0.103

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 30

∴ 200¹⁰⁰ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 30 + 1 = 31

(x) 6¹⁸ 

ধৰো, x = 6¹⁸ 

∴ logx = log6¹⁸ 

           = 18 x log6

           = 18 x log(2 x 3)

           = 18 x (log2 + log3)

           = 18 x (0.30103 + 0.47712)

           = 18 x 0.77815

           = 14.0067

           = 14 + 0.0067

ইয়াত x ৰ ঘাতাংকৰ পূৰ্ণক 14

∴ 6¹⁸ সংখ্যাটোত থকা মুঠ অংকৰ সংখ্যা = 14 + 1 = 15

6. তলৰ সংখ্যোবোৰত দশমিক বিন্দু আৰু তাৰ সোঁহাতে থকা প্ৰথম সাৰ্থক অংকটোৰ মাজত কেইটা শূন্য থাকিব?

7. মান উলিওৱাঃ

(i) (7.92)⁵ 

ধৰো, x = (7.92)⁵ 

∴ log x = log(7.92)⁵ 

             = 5log (7.92)

             = 5 x (0 + 0.89873)

             = 4.49365

∴ x = Antilog(4.49365)

      = 31162.05

 

10.শতকৰা বছৰি কিমান হাৰৰ চক্ৰবৃদ্ধি সুতত 1,60,000 টকা 2 বছৰত 1,91,844 টকা হ'ব ঘাতাংক প্ৰয়োগ কৰি উলিওৱা।

উত্তৰঃ 

ইয়াত মূলধন P = 1,60,000

সবৃদ্ধিমূল A = 1,91,844

বছৰ n = 2

∴ সুতৰ হাৰ r = ?

আমি জানো, A = P(1 + r/100)ⁿ 

⇒ 1,91,844 = 1,60,000(1 + r/100)² 

⇒ 1,91,844/1,60,000 = (1 + r/100)² 

⇒ log(47,961/40,000) = log(1 + r/100)² 

⇒ log47,961 - log40,000 = 2log(1 + r/100)

⇒ 4.68089 - 4.60206 = 2log(1 + r/100)² 

⇒ log(1 + r/100) = 1/2 x 0.7883

⇒ 1 + r/100 = Antilog(0.39415)

⇒ r/100 = 1.0950 - 1

⇒ r = 0.0950 x 100

⇒ r = 9.5

∴ নিৰ্ণেয় সুতৰ হাৰ (r) = 9.5%

11. চক্ৰবৃদ্ধি সুতত শতকৰা বছৰি 16% হাৰত কেইবছৰত 216 টকা 625 টকা হ'ব ঘাতাংকৰ সহায়ত উলিওৱা।

উত্তৰঃ 

ইয়াত

মূলধন P = 216

সবৃদ্ধিমূল A = 625

সুতৰ হাৰ r = 16%

∴ বছৰ n = ?

আমি জানো, 

A = p(1 + r/100)ⁿ 

⇒ 625 = 216(1 + 16/100)ⁿ 

⇒ log625 = log216 - log(116/100)ⁿ 

⇒ 2.7956 = 2.3345 - n(log116 - log100)

⇒ 2.7956 - 2.3345 = n(2.0645 - 2)

⇒ 0.4611 = n x 0.0645

⇒ n = 0.4611/0.0645

⇒ n = 7.15

∴ নিৰ্ণেয় বছৰ (n) = 7.15 বছৰ।

12. চক্ৰবৃদ্ধি সুতত শতকৰা বছৰি 8% হাৰত 1,00,000 টকাৰ 3 বছৰৰ সুত কিমান হ'ব?

উত্তৰঃ 

ইয়াত, 

মূলধন P = 1,00,000

সুতৰ হাৰ r = 8%

বছৰ n = 3

∴ সুত I = ?

আমি জানো, 

A = P(1 + r/100)ⁿ 

⇒ A = 1,00,000(1 + 8/100)³ 

⇒ log A = log[1,00,000(1 + 8/100)³]

⇒ log A = log1,00,000 + 3(log108 - log100)

             = 5 + 3 x (2.03342 - 2)

             = 5 + 3 x 0.03342

             = 5 + 0.10026

             = 5.10026

⇒ A = Antilog(5.10026)

⇒ A = 125971.20

∴ নিৰ্ণেয় সুত (I) = 1,25,971.20 - 1,00,000 = 25,971.20 টকা

13. 45 চে.মি., 57 চে,মি. আৰু 63 চে.মি. দীঘৰ বাহু বিশিষ্ট ত্ৰিভূজটোৰ কালি উলিওৱা।

উত্তৰঃ

ত্ৰিভূজটোৰ বাহু

a = 45cm

b = 57cm

c = 63 cm

∴ S = (a + b + c)/2

      = (45 + 57 + 63)cm/2

      = 165cm/2

      = 82.5cm

14. এটা গোলাকৰ আয়তন 72.81 ঘন চে.মি. হ'লে ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ কিমান?

উত্তৰঃ 

ধৰো, গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ r

এতিয়া 

4/3 πr³ = 72.81cm³ 

⇒ 4/3 x 22/7 x r³ = 72.81cm³ 

⇒ 88/21 r³ = 72.81

⇒ r³ = (72.81 x 21)/88

⇒ log r³ = log17.3751

⇒ 3log r = 1.57415

⇒ log r = 0.52471

⇒ r = Antilog(0.52471)

       = 3.35 cm

15. ঘাতাংকৰ সহায়ত সমাধা কৰাঃ

(i) 10^x = 893

উত্তৰঃ 

10^x = 893

⇒ log 10^x = log 893

⇒ x log 10 = 2.95085

⇒ x = 2.95085

(ii) 18 x 3^x = 2^2x 

উত্তৰঃ 

18 x 3^x = 2^2x 

⇒ log(18 x 3^x) = log 2^2x 

⇒ log 18 + log 3^x = 2x log 2

⇒ log(2 x 3²) + xlog 3 = 2x (0.30103)

⇒ log 2 + 2log 3 + x log 3 = 0.60206x

⇒ 0.30103 + 2 x 0.47712 + 0.47712x = .060206x

⇒ 0.30103 + 0.95424 = 0.60206x - 0.47712x

⇒ 1.25527 = 0.12491x

⇒ x = 10.04939

(iii) 7^{3x + 2} + 4^{x + 2} = 7^{3x + 1} + 2^{2x + 6} 

উত্তৰঃ 

7^{3x + 2} + 4^{x + 2} = 7^{3x + 1} + 2^{2x + 6} 

⇒ 7^3x.49 + 4^x.4² = 7^3x.7¹ + 2^2x.2⁶ 

⇒ 7^3x.49 + 2^2x.16 = 7^3x.7 + 2^2x.64

⇒ 7^3x (49 - 7) = 2^2x (64 - 16)

⇒ 42.7^3x = 48.2^2x 

⇒ 7.7^3x = 8.2^2x 

⇒ 7^{3x + 1} = 2^{2x + 3} 

⇒ log 7^{3x + 1} = log 2^{2x + 3} 

⇒ (3x + 1)log 7 = (2x + 3)log 2

⇒ x(3log 7 - 2log 2) = 3log 2 - log 7

⇒ x = (0.9030 - 0.8451)/(2.5353 - 0.6020)

⇒ x = 0.0579/1.9333

⇒ x = 0.029

⇒ x = 0.03

(iv) log(x² - 3x) = 1

⇒ log (x² - 3x) = log 10

⇒ x² - 3x = 10

⇒ x² - 3x - 10 = 0

⇒ x² - 5x + 2x - 10 = 0

⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) = 0

⇒ (x - 5)(x + 2) = 0

∴ x - 5 = x + 2 = 0

⇒ x = 5 বা x = -2

(v) 6^{3 - 4x} x 4^{x + 5} = 8

⇒ log (6^{3 - 4x} x 4^{x + 5}) = log 8

⇒ log (6^{3 - 4x}) + log (4^{x + 5}) = log 2³ 

⇒ (3 - 4x)log 6 + (x + 5)log 4 = 3 x 0.30103

⇒ (3 - 4x) 0.77815 + 2(x + 5)0.30103 = 0.90309

⇒ 2.33445 - 3.1126x + 0.60206x + 3.0103 = 0.90309 

⇒ - 2.51054x = 0.90309 - 5.34475

⇒ - 2.51054x = - 4.44166

⇒ x = - 4.44166/- 2.51054

⇒ x = 1.769

16. দেখুওৱা যে (21/10)¹⁰⁰ > 100

উত্তৰঃ 

ধৰো, 

A = (21/20)¹⁰⁰ 

⇒ log A = log(21/20)¹⁰⁰ 

                = 100 log21/20

              = 100 log21 - 100 log 20

              = 100 log (3 x 7) - 100 log(2²  x 5)

              = 100 log 3 + 100 log 7 - 200 log 2 - 100 log 5

              = 100 x 0.4771 + 100 x 0.8451 - 200 x 0.3010 - 100 x 0.6989

              = 47.71 + 84.51 - 60.20 - 69.89

              = 132.22 - 130.09

              = 2.13

⇒ A = Antilog(2.13)

        = 131.52 > 100

প্ৰমাণিত।

- Hiru Moni Bora

Post ID : DABP002803