দ্বিঘাত সমীকৰণ | Quadratic Equation | Lesson 4 | Exercise 4.1 | Class 0 Advanced Mathematics Solution Assamese Medium | Class 10 Adv Maths Solution Assam | দশম শ্ৰেণীৰ উচ্চ গণিতৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ |

পাঠ ৪

দ্বিঘাত সমীকৰণ

অনুশীলনী 4.1

1. তলত দিয়া মূলবোৰৰে একোটাকৈ দ্বিঘাত সমীকৰণ গঠন কৰাঃ

(i) -5, 7

উত্তৰঃ মূল দুটা বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকৰণটো হ'ব

     x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - ( -5 + 7)x + (-5)x7 = 0

⇒ x² - 2x - 35 = 0

(ii) -1/2, -3

উত্তৰঃ 

     x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (-1/2 - 3)x + (-1/2)x(-3) = 0

⇒ x² + 7/2x + -3/2 = 0

(iii) 1, -3/2

উত্তৰঃ x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (1 - 3/2)x + (-3/2) = 0

⇒ x² - (-1/2)x -3/2 = 0

⇒ x² + 1/2x -3/2 = 0

(iv) (1, - 4/5)

উত্তৰঃ x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (1 - 4/5)x + (-4/5) = 0

⇒ x² - (1/5)x - 4/5 = 0

⇒ x² - 1/5x - 4/5 = 0

(v) 1/2, -1/3

উত্তৰঃ x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (1/2 - 1/3)x + (-1/6) = 0

⇒ x² - (1/6)x - 1/6 = 0

⇒ x² - 1/6x - 1/6 = 0

(vi) 5i, -5i

উত্তৰঃ x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (5i - 5i)x + {5i x (-5i)} = 0

⇒ x² - 0.x - 25 = 0

⇒ x² - 25 = 0

2. দ্বিঘাত সমীকৰণটো গঠন কৰা যাৰ এটা মূল

(i) √3i 

উত্তৰঃ ∵ এটা মূল √3i 

∴ আনটো মূল = - √3i 

∴ সমীকৰণটো হৈছে 一 

x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - (√3i - √3i )x + {√3i x (- √3i )} = 0

⇒ x² - 0.x - 9 = 0

⇒ x² + 9 = 0

(ii) 4 + √5

উত্তৰঃ ∵ এটা মূল 4 + √5 

∴ আনটো মূল = 4 - √5 

∴ সমীকৰণটো হৈছে 一 

x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - ( 4 + √5 + 4 - √5)x + {(4 + √5)(4 - √5)} = 0

⇒ x² - 8x + (16 - 5) = 0

⇒ x² - 8x + 11 = 0

(iv) 1- (√3/2)i

উত্তৰঃ ∵ এটা মূল 1 - (√3/2)i

∴ আনটো মূল = 1 + (√3/2)i 

∴ সমীকৰণটো হৈছে 一 

x² - (মূল দুটাৰ যোগফল)x + মূল দুটাৰ গুণফল = 0

⇒ x² - {1- (√3/2)i + 1 + (√3/2)i }x + {1- (√3/2)i}{1- (√3/2)i} = 0

⇒ x² - 2x + 1 - 3/4 = 0

⇒ x² - 2x - 1/4 = 0

3. এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ মূলবোৰ 一

(i) x² - 16x + 63 = 0 ৰ মূলবোৰতকৈ 2 সৰু।

উত্তৰঃ 

ধৰা হ'ল, x² - 16x + 63 = 0 ৰ মূলবোৰ α আৰু ß

∴ α + ß = 16

আৰু αß = 63

∴ নিৰ্ণেয় সমীকৰণটোৰ মূলদুটা α - 2 আৰু ß - 2

এতিয়া মূল দুটাৰ যোগফল 

= (α - 2)+ (ß -2)

= α + ß - 4

= 16 - 4

= 12

আৰু মূল দুটাৰ গুণফল

= (α - 2)(ß - 2)

= αß - 2α - 2ß + 4

= 63 - 2(α + ß) + 4

= 67 - 2x16

= 67 - 32

= 35

∴ নিৰ্ণেয় সমীকৰণটো হৈছে

⇒ x² - 12x + 35 = 0

(ii) x² + 13x + 5 = 0 ৰ মূলবোৰতকৈ 4 সৰু।

উত্তৰঃ ধৰা হ'ল, সমীকৰণটোৰ মূল দুটা α আৰু ß

∴ α + ß = -13

আৰু αß = 5

নিৰ্ণেয় সমীকৰণটোৰ মূল দুটা হৈছে α + 4 আৰু ß + 4

এতিয়া মূল দুটাৰ যোগফল

α + 4 + ß + 4

= α+ ß + 8

= -13 + 8

= - 5

আৰু মূল দুটাৰ গুণফল হৈছে 

(α + 4)(ß + 4)

= αß + 4α + 4ß + 16

= 5 + 4(α + ß) + 16

= 21 + 4 x (-13)

= 21 - 52

= - 31

∴ নিৰ্ণেয় সমীকৰণটো হৈছে 

⇒ x² + 5x - 31 = 0

(iii) 2x² - 7x + 6 = 0 ৰ মূলবোৰৰ প্ৰতিক্ৰম

উত্তৰঃ ধৰা হ'ল সমীকৰণটোৰ মূল দুটা α আৰু ß

∴ α + ß = 7

আৰু αß = 6

নিৰ্ণেয় সমীকৰণটোৰ মূল দুটা 1/α আৰু 1/ß

এতিয়া মূল দুটাৰ যোগফল

1/α + 1/ß

4. k ৰ মান উলিওৱা যাতে

(i) 2x² - 5x + k = 0 ৰ েটা মূল আনটোৰ দুগুণ হয়।

উত্তৰঃ 

(ii) (2k - 5)x² - 4x - 15 = 0 আৰু (3k - 8)x² - 5x - 21 = 0 ৰ এটা উমৈহতীয়া মূল থাকে।

উত্তৰঃ ধৰা হ'ল উমৈহতীয়া মূলটো α

∴ (2k - 5)α² - 4α - 15 = 0

আৰু (3k - 8)α² - 5α - 21 = 0

এতিয়া বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে আমি পাওঁ,

5. কি চৰ্ত সাপেক্ষে 

(i) 3x² + 4mx + 2 = 0 আৰু 2x² +3x - 2 = 0 এটা উমৈহতীয়া মূল থাকিব?

উত্তৰঃ ধৰা হ'ল উমৈহতীয়া মূলটো α

∴ 3α² + 4mα + 2 = 0

আৰু 2α² + 3α - 2 = 0

এতিয়া বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে আমি পাওঁ

(ii) ax² + bx + c = 0 ৰ এটা মূল আনটোৰ n গুণ হ'ব?

উত্তৰঃ 

ধৰো, এটা মূল α 

∴ আনটো মূল nα 

এতিয়া আমি পাওঁ

α + nα = -b/a 

⇒ α(1 + n) = -b/a

⇒ α = -b / a(1 + n)

আৰু nα² = c/a

⇒ n{-b/a(1 + n)}² = c/a

⇒ nb²/a² (1 + n)² = c/a

⇒ n/(1 + n)² = ac/b² 

⇒ (1 + n)²/n = b²/ac

(iii) x² - px + q = 0 ৰ এটা মূল আনটোৰ দুগুণ হ'ব?

উত্তৰঃ 

ধৰো, এটা মূল α 

∴ আনটো মূল 2α 

এতিয়া আমি পাওঁ

α + 2α = p

⇒ 3α = p

⇒ α = p/3 ............(i)

আৰু α2α = q

⇒ 2α² = q

⇒ 2(p/3)² 

⇒ p²/9 = q/2

⇒ 2p² = 9q

(iv) ax² + bx + c = 0 ৰ মূল দুটা m : n অনুপাতত থাকিব?

উত্তৰঃ 

ধৰো মূল দুটা mα আৰু nα

∴ mα + nα = -b/a

⇒ α(m + n) = -b/a

⇒ α = b/a(m + n) ............(i)

আৰু mα x nα = c/a

⇒ mnα² = c/a

⇒ mn{-b/a(m + n)}² = c/a

⇒ mnb²/a(m + n)² = c

⇒ mnb² = ac(m + n)²

(v) ax² + bx + c = 0  আৰু px² + qx + r = 0 ৰ এটা উমৈহতীয়া মূল থাকিব?

উত্তৰঃ 

ধৰো, মূলটো α 

এতিয়া বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে আমি পাওঁ,

(vi) ax² + bx + c = 0 ৰ এটা মূল আনটোৰ চাৰিগুণ?

উত্তৰঃ ধৰো, এটা মূল α 

∴ আনটো মূল 4α

∴α + 4α = -b/a 

⇒ 5α = -b/a

⇒ α = -b / 5a

আৰু 4α² = c/a

⇒ 4(-b/5a)² = c/a

⇒ 4b²/25a = c

⇒ 4b² = 25ac 

(vii) x² - mx + n = 0 ৰ মূল দুটাৰ যোগফল সিহঁতৰ অন্তৰৰ k গুণ?

উত্তৰঃ ধৰো, মূল দুটা α আৰু ß

α + ß = m

আৰু αß = n

এতিয়া, 

(α - ß)² = (α + ß)² - 4αß

⇒ (α - ß)² = m² - 4n

⇒ α - ß = √m² - 4n

প্ৰশ্নমতে,

α + ß = k(α - ß)

⇒ m = k(√m² - 4n)

⇒ m² = k²(m² - 4n)

⇒ m² = m²k² - 4k²n

⇒ m² - m²k² = -4k²n

⇒ m²k² - m² = 4k²n

⇒ m² (k² -1) = 4k²n

6. ax² + bx + c = 0 সমীকৰণটোৰ মূল α আৰু ß তেন্তে তলৰ প্ৰতিসম ফলনবোৰৰ মান a, b, c সহগত প্ৰকাশ কৰাঃ

7. ax² + bx + c = 0 সমীকৰণটোৰ মূল α আৰু ß তেন্তে তলৰ মূল থকা একোটা সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা।

8. যদি  a² = 5a - 3 আৰু b² = 5b - 3 (a ≠ b), তেন্তে এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ উলিওৱা যাৰ মূল দুটা a/b আৰু b/a।

উত্তৰঃ 

9. যদি 3x² + 6x + 2 = 0 ৰ মূল দুটা p আৰু Q তেন্তে -p²/q, q²/p মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকৰণটো নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

10.  x² + ax + 8 = 0 ৰ এটা মূল 4 আৰু x² + ax + b = 0 ৰ মূল দুটা সমান হ'লে b ৰ মান উলিওৱা।

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে; 

x² + ax + 8 = 0 ৰ এটা মূল 4

ধৰা হ'ল আনটো মূল α 

∴ 4 + α = - a ............(i)

আৰু 4α = 8

⇒ α = 2

∴ (i) ⇒ 2 + 4 = -a

⇒ a = - 6

∴ x² + ax + b = 0 সমীকৰণটো হ'ব x² - 6x + b = 0..........(ii)

∵ (ii) ৰ মূল দুটা সমান

∴ a² - 4b = 0

⇒ (-6)² - 4b = 0

⇒ 36 = 4b

⇒ b = 9

11. 4x² + 2x - 1 = 0, ৰ এটা মূল α হ'লে দেখুওৱা যে আনটো মূল 4α² - 3α ।

উত্তৰঃ 

12. x² + px + q = 0 ৰ মূল দুটাৰ অন্তৰ 1 হ'লে দেখুওৱাা যে p² + 4q² = (1 + 2q)².

উত্তৰঃ 

13. যদি ax² + bx + c = 0 আৰু bx² +cx + a = 0 ৰ এটা উমৈহতীয়া মূল থাকে, প্ৰমাণ কৰা যে a + b + c =  মূল  নাইবা a = b = c.

উত্তৰঃ 

14. ax² + bx + a = 0 ৰ মূল দুটা সমান হ'লে দেখুওৱা যে 

উত্তৰঃ 

15. সমাধা কৰাঃ

(i) x⁴ - 13x² +36 = 0

⇒ x⁴ - 4x² -9x² + 36 = 0

⇒ x² (x² - 4) - 9(x² - 4) = 0

⇒ (x² - 4)(x² - 9) =0

∴ x² - 4 =0 বা x² - 9 = 0

⇒ x² = 4        ⇒x² = 9

⇒ x = 2          ⇒ x = 3

(ii) x⁴ - 3x² + 2 = 0

⇒ x⁴ - x² - 2x² + 2 = 0

⇒ x² (x²  - 1) - 2(x²  - 1) = 0

⇒ (x² - 1)(x² - 2) = 0

∴ x² - 1 =0 বা x² - 2 = 0

⇒ x² = 1        ⇒ x² = 2

⇒ x = 1          ⇒ x = √2

(iii) (x² - 3x)² - 5(x² - 3x) + 6 = 0

⇒ (x² - 3x)² - 2(x² - 3x) - 3(x² - 3x) + 6 = 0

⇒ (x² - 3x)(x² - 3x - 2) - 3(x² - 3x + 2) = 0

⇒ (x² - 3x + 2)(x² - 3x - 2) = 0

⇒ x² - 3x + 2 = 0 বা x² - 3x - 2 = 0.......(i)

⇒ x² - x - 2x + 2 = 0

⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) = 0

⇒ (x - 1)(x - 2) = 0

⇒ x - 1 = 0 বা x - 2 =0

⇒ x = 1 বা     ⇒ x = 2

আকৌ, 

(i) ৰ পৰা x² - 3x - 2 = 0

(iv) (x² + 2x - 3)² - 3(x² + 2x - 1) + 8 = 0

ধৰো, x² + 2x - 1 = y

∴ (x² + 2x - 3)² - 3(x² + 2x - 1) + 8 = 0

⇒ (x² + 2x - 1 - 2)² - 3(x² + 2x - 1) + 8 = 0

⇒ (y - 2)² - 3y + 8 = 0

⇒ y² + 4 - 4y - 3y + 8 = 0

⇒ y² - 7y + 12 = 0

⇒ y² - 3y - 4y + 12 =0

⇒ y(y - 3) - 4(y - 3) = 0

⇒ (y - 3)(y - 4) = 0

∴ y - 3 = 0 বা y - 4 = 0

⇒ y = 3...........(i)

বা y = 4...........(ii)

(i) ⇒ x² + 2x - 1 = 3

⇒ x² + 2x -4 =0

- Hiru Moni Bora

Post ID : DABP005043