পাঠ ২
বহুপদ
Polynomials
Exercise 2.2
1. তলৰ দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰ আৰু সহগবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা।
(i) x2 - 2x - 8
ধৰো,
P(x) = x2 - 2x - 8
= x2 +2x - 4x - 8
= x(x + 2) - 4(x + 2)
= (x + 2)(x - 4)
∴ x + 2 = 0 নাইবা x - 4 = 0
⇒ x = -2 নাইবা x = 4
∴ P(x) = x2 - 2x - 8 ৰ শূন্য দুটা α = 4 আৰু ß = -2
এতিয়া
x2 ৰ সহগ = 1
x ৰ সহগ = -2 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = - 8
α + ß = 4 + (-2) = 2
-(x ৰ সহগ)/x2 ৰ সহগ = -(-2)/1 = 2
আৰু αß = 4 x (-2) = -8
ধ্ৰুৱক পদ/x2 ৰ সহগ = -8/1 = -8
(ii) 4s2 - 4s + 1
ধৰো,
P(s) = 4s2 - 4s + 1
= 4s2 - 2s - 2s + 1
= 2s(2s - 1) - 1(2s - 1)
= (2s - 1)(2s - 1)
∴ 2s - 1 = 0
⇒ s = 1/2
∴ P(s) = 4s2 - 4s + 1 ৰ শূন্য দুটা α = 1/2 আৰু ß = 1/2
এতিয়া
s2 ৰ সহগ = 4
s ৰ সহগ = -4 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = 1
α + ß = 1/2 + 1/2 = 1
-(s ৰ সহগ)/s2 ৰ সহগ = -(-4)/4 = 1
আৰু αß = 1/2 x 1/2 = 1/4
ধ্ৰুৱক পদ/x2 ৰ সহগ = 1/4
(iii) 6x2 - 3 - 7x = 6x2 - 7x - 3
ধৰো,
P(x) = 6x2 - 7x - 3
= 6x2 - 9x + 2x - 3
= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (2x - 3)(3x + 1)
∴ 2x - 3 = 0 নাইবা 3x + 1 = 0
⇒ x = 3/2 নাইবা x = -1/3
∴ P(x) = 6x2 - 7x - 3 ৰ শূন্য দুটা α = 3/2 আৰু ß = -1/3
এতিয়া
x2 ৰ সহগ = 6
x ৰ সহগ = -7 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = - 3
α + ß = 3/2 + -1/3 = 7/6
-(x ৰ সহগ)/x2 ৰ সহগ = -(-7)/6 = 7/6
আৰু αß = 3/2 x (-1/3) = -1/2
ধ্ৰুৱক পদ/x2 ৰ সহগ = -3/6 = -1/2
(iv) 4u2 + 8u
ধৰো,
P(u) = 4u2 + 8u
= 4u(u + 2)
∴ u + 2 = 0 নাইবা 4u = 0
⇒ u = -2 নাইবা u = 0
∴ P(u) = 6x2 - 7x - 3 ৰ শূন্য দুটা α = -2 আৰু ß = 0
এতিয়া
u2 ৰ সহগ = 4
u ৰ সহগ = 8 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = 0
α + ß = -2 + 0 = -2
-(u ৰ সহগ)/u2 ৰ সহগ = -8/4 = -2
আৰু αß = (-2) x 0 = 0
ধ্ৰুৱক পদ/u2 ৰ সহগ = 0/4 = 0
(v) t2 - 15
ধৰো,
P(t) = t2 - 15
= (t + √15)(t - √15)
∴ t + √15 = 0 নাইবা t - √15 = 0
⇒ t = - √15 নাইবা t = √15
∴ P(t) = t2 - 15 ৰ শূন্য দুটা α = -√15 আৰু ß = √15
এতিয়া
t2 ৰ সহগ = 1
u ৰ সহগ = 0 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = -15
α + ß = -√15 + √15 = 0
-(t ৰ সহগ)/t2 ৰ সহগ = 0/1 = 0
আৰু αß = (-√15) x √15 = -15
ধ্ৰুৱক পদ/t2 ৰ সহগ = 15/1 = 15
(vi) 3x2 - x - 4
ধৰো,
P(x) = 3x2 - x - 4
= 3x2 + 3x - 4x - 4
= 3x(x + 1) - 4(x + 1)
= (x + 1)(3x - 4)
∴ x + 1 = 0 নাইবা 3x - 4 = 0
⇒ x = -1 নাইবা x = 4/3
∴ P(x) = 3x2 - x - 4 ৰ শূন্য দুটা α = -1 আৰু ß = 4/3
এতিয়া
x2 ৰ সহগ = 3
x ৰ সহগ = -1 আৰু
ধ্ৰুৱক পদ = -4
α + ß = (-1) + 4/3 = 1/3
-(x ৰ সহগ)/x2 ৰ সহগ = -(-1)/3 = 1/3
আৰু αß = (-1) x (4/3) = -4/3
ধ্ৰুৱক পদ/x2 ৰ সহগ = -4/3
2. তলৰ যোৰকেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্যবোৰৰসমষ্টি আৰু গুণফল হিচাপে ধৰি প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত একোটা দ্বিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 1/4, -1
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
α + ß = 1/4
⇒-b/a = 1/4
⇒-b = 1 আৰু a = 4
⇒ b = -1 আৰু a = 4
আকৌ
αß = -1
⇒ c/a = -1
⇒ c = (-1) x a
⇒ c = -4
⇒ c = -4
∴ বহুপদটো হ'ব
ax2 + bx + c
= 4x2 - x - 4
(ii) √2, 1/3
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
αß = 1/3
⇒ c/a = 1/3
⇒ c = 1 আৰু a = 3
আকৌ,
α + ß = √2
⇒ -b/a = √2
⇒ -b = √2 x 3
⇒ b = -3√2
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
ax2 + bx + c
= 3x2 + 3√2x + 1
(iii) 0, √5
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
α + ß = 0
⇒ -b/a = 0
⇒ -b = 0
আকৌ,
αß = √5
⇒ c/a = √5/1
⇒ c = √5 আৰু a = 1
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
ax2 + bx + c
= x2 + √
(iv) 1, 1
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
α + ß = 1
⇒ -b/a = 1
⇒ b/a = -1/1
∴ b = -1 আৰু a = 1
আকৌ,
αß = 1
⇒ c/a = 1
⇒ c = a
⇒ c = 1
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
ax2 + bx + c
= x2 + x + 1
(v) -1/4, 1/4
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
α + ß = -1/4
⇒ -b/a = -1/4
⇒ b/a = 1/4
⇒ b = 1 আৰু a = 4
আকৌ,
αß = 1/4
⇒ c/a = 1/4
⇒ c = 1
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
ax2 + bx + c
= 4x2 + x + 1
(vi) 4, 1
ধৰো, বহুপদটোৰ শূন্য α আৰু ß
এতিয়া,
αß = 1
⇒ c/a = 1/1
⇒ c = 1 আৰু a = 1
আকৌ,
α + ß = 4
⇒ -b/a = 4
⇒ -b = 4 x 1
⇒ b = -4
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
ax2 + bx + c
= x2 - 4x + 1
3. দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্যকেইটা তলত দিয়া ধৰণৰঃ
(i) -4 আৰু 3/2
মূল দুটাৰ যোগফল
(-b/a) = -4 + 3/2
⇒ - b/a = -5/2
আৰু মূল দুটাৰ গুণফল
c/a = (-4) x 3/2
= -6
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
= x2 - (b/a)x + c/a
= x2 - (-5/2)x + (-6)
= 2x2 + 5x - 12
(ii) 5 আৰু 2
মূল দুটাৰ যোগফল
(-b/a) = 5 + 2
= 7
আৰু মূল দুটাৰ গুণফল
c/a = 5 x 2
= 10
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
= x2 - (b/a)x + c/a
= x2 - 7x + 10
(iii) 1/3 আৰু -1
মূল দুটাৰ যোগফল
(-b/a) = 1/3 - 1
= -2/3
আৰু মূল দুটাৰ গুণফল
c/a = 1/3 x (-1)
= -1/3
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
= x2 - (b/a)x + c/a
= x2 - (-2/3)x - 1/3
= 3x2 + 2x - 1
(iv) 3/2 আৰু -2
মূল দুটাৰ যোগফল
(-b/a) = 3/2 - 2
= -1/2
আৰু মূল দুটাৰ গুণফল
c/a = 3/2 x (-2)
= -3
∴ দ্বিঘাত বহুপদটো হৈছে
= x2 - (b/a)x + c/a
= x2 - (-1/2)x - 3
= 2x2 + 2x - 6
Post Id:DABP002523
0 Comments