পাঠ ১
বাস্তৱ সংখ্যা
অনুশীলনী 1.1
1. ইউক্লিডৰ কলনবিধি ব্যৱহাৰ কৰি গ.সা.উ. উলিওৱা 一
(i) 135 আৰু 225
225 = 135 x 1 + 90
135 = 90 x 1 + 45
90 = 45 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ. = 45
(ii) 196 আৰু 38220
38220 =196 x 195 + 0
∴ গ.সা.উ. = 196
(iii) 867 আৰু 255
867 = 255 x 3 + 102
255 = 102 x 2 + 51
102 = 51 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ = 51
(iv) 272 আৰু 1032
1032 = 272 x 3 + 216
272 = 216 x 1 + 56
216 = 56 x 3 + 48
56 = 48 x 1 + 8
48 = 8 x 6 + 0
∴ গ.সা.উ = 8
(v) 405 আৰু 2520
2520 = 405 x 6 + 90
405 = 90 x 4 + 45
90 = 45 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ = 45
(vi) 155 আৰু 1385
1385 = 155 x 8 + 145
155 = 145 x 1 + 10
145 = 10 x 14 + 5
10 = 5 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ. = 5
(vii) 384 আৰু 1296
1296 = 384 x 3 + 144
384 = 144 x 3 + 96
144 = 96 x 1 + 48
96 = 48 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ. = 48
(viii) 1848 আৰু 3058
3058 = 1848 x 1 + 1210
1848 = 1210 x 1 + 638
1210 = 638 x 1 + 572
638 = 572 x 1 + 66
572 = 66 x 8 + 44
66 = 44 x 1 + 22
44 = 22 x 2 + 0
∴ গ.সা.উ. = 22
2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3 বা 6q + 5 আৰ্হিৰ, য'ত q এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ'ল a এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা,
এতিয়া, ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা অনুসৰি 一
a = bq + r ইয়াত b = 6 ∴ 0 ≤ r < 6
∴ r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
এতিয়া,
a = 6q + 0 = 6q
a = 6q + 1
a = 6q + 2
a = 6q + 3
a = 6q + 4
a = 6q + 5
3. 616 সদস্যৰ এটা সৈন্যবাহিনীৰ গোটে 32 জনীয়া সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম-খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ'ব?
উত্তৰঃ 616 আৰু 32 ৰ গঃসাঃউঃ হৈছে খোজ কাঢ়িবলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা।
এতিয়া,
616 = 32 x 19 + 8
32 = 8 x 4 + 0
∴ উচ্চতম স্তম্ভৰ সংখ্যা = 8 টা।
4. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3m + 1 আৰ্হিৰ, য'ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰঃ
ধৰো, a যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা যাতে
a = bq + r, য'ত b = 3 আৰু 0 ≤ r < 3
∴ a = 3q, 3q + 1, 3q + 2
এতিয়া, প্ৰথম ক্ষএত্ৰত
a2 = (3q)2
= 9q2
= 3.3q2
= 3m য'ত m = 3q2
দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত
a2 = (3q + 1)2
= 9q2 + 6q + 1
= 3(3q2 + 2q) + 1
= 3m + 1 য'ত m = 3q2 + 2q
তৃতীয় ক্ষেত্ৰত
a2 = (3q + 2)2
= 9q2 + 12q + 4
= 9q2 + 12q + 3 + 1
= 3(3q2 + 4q + 1) + 1
= 3m + 1 য'ত m = 3q2 + 4q + 1
প্ৰমাণিত
5. ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যি কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ।
উত্তৰঃ
ধৰো, a এটা যেগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা যাতে,
a = bq + r য'ত b = 3 আৰু 0 ≤ r < 3
∴ 3q, 3q + 1, 3q + 2
এতিয়া, প্ৰথম ক্ষেত্ৰত,
a3 = (3q)3
= 27q3
= 9.3q3
= 9m য'ত m = 3q3
দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত,
a3 = (3q + 1)3
= 27q3 + 27q2 + 9q + 1
= 9(3q3 + 3q2 + q) + 1
= 9m + 1 য'ত m = 3q3 + 3q2 + q
তৃতীয় ক্ষেত্ৰত,
a3 = (3q + 2)3
= 27q3 + 27q2 + 9q + 8
= 9(3q3 + 3q2 + q) + 8
= 9m + 8 য'ত m = 3q3 + 3q2 + q
প্ৰমাণিত
6. হিমাদ্ৰীয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাক-টিকট সংগ্ৰহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাক চিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব?
উত্তৰঃ 625 আৰু 325 ৰ গঃসাঃউঃ হ'ব নিৰ্ণেয় থূপৰ সংখ্যা।
625 = 325 x 1 + 300
325 = 300 x 1 + 25
300 = 25 x 12 + 0
∴ নিৰ্ণেয় থূপৰ সংখ্যা = 25টা।
7. দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি। দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে। অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰাতেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ'ব?
উত্তৰঃ
64 আৰু 80 ৰ গঃসাঃউঃ হব টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য।
80 = 64 x 1 + 16
64 = 16 x 4 + 0
∴ কাটি উলিয়াব পৰা ৰছীৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 ছে.মি.
Post Id:DABP002377
