পাঠ ৮
সামতলিক জ্য়ামিতি
Plane Geometry
Exercise 8.1
1. দেখুওৱা যে যিকোনো বৰ্হিবিন্দুৰ পৰা বৃত্ত এটালৈ অঁকা স্পৰ্শক দুডাল পৰস্পৰ সমান।
উত্তৰঃ ধৰো, O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তলৈ বৰ্হিবিন্দু A ৰ পৰা দুডাল স্পৰ্শক AB আৰু AC অঁকা হ'ল। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে AB = AC।
অংকনঃ OA, OB আৰু OC সংযোগ কৰা হ'ল।
∆OAB আৰু ∆OAC ৰ পৰা 一
OA = OA ( সাধাৰণ বাহু )
OB = OC ( এটা বৃত্তৰ দুডাল ব্যাসাৰ্ধ )
∠OBA = ∠OCA ( ব্যাসাৰ্ধ আৰু স্পৰ্শকৰ মাজৰ কোণ )
∆OAB ≅ ∆OAC
∴ AB = AC ( সৰ্বসম ত্ৰিভূজৰ দুটা বিপৰীত বাহু )
প্ৰমাণিত।
2. দুটা বৃত্তৰ এটাই আনটোৰ ভিতৰত থাকি ( অৰ্থাৎ অন্তৰ্ভাৱে ) P বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। ডাঙৰ বৃত্তটোৰ এডাল জ্যা AB য়ে সৰু বৃত্তটোক C আৰু D বিন্দুত ছেদ কৰিছে। প্ৰমাণ কৰা যে ∠CPA = ∠DPB।
উত্তৰঃ দুটা বৃত্তৰ এটাই আনটোৰ ভিতৰত থাকি P বিন্দুত কাটিছে। ডাঙৰ বৃত্তটোৰ জ্যা AB য়ে সৰু বৃত্তটোক C আৰু D বিন্দুত কাটিছে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∠CPA = ∠DPB।
অংকনঃ AP আৰু BP সংযোগ কৰা হ'ল। আৰু P বিন্দুৰ মাজেৰ যোৱাকৈ MN ৰেখা টনা হ'ল।
এতিয়া,
∠BPN = ∠BAP ( বিপৰীত বৃত্তাংশস্থ কোণ )
∠DPN = ∠DCP ( বিপৰীত বৃত্তাংশস্থ কোণ )
∠DPN - ∠BPN = ∠DCP - ∠BAP
∠DPB = ∠BAP + ∠CPA - ∠BAP ( ∵ ∠DCP = ∠BAP + ∠CPA )
∠DPB = ∠CPA
প্ৰমাণিত।
3. দুটা বৃত্তৰ এটাই আনটোৰ ভিতৰত থাকি পৰস্পৰ P বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। যদি ডাঙৰ বৃত্তটোৰ এডাল জ্যা AB সৰু বৃত্তটোৰ C বিন্দুত স্পৰ্শক হয়, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে CP, ∠APB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ দুটা বৃত্তৰ এটাই আনটোৰ ভিতৰত থাকি পৰস্পৰ P বিন্দুত কাটিছে। ডাঙৰ বৃত্তটোৰ জ্যা AB য়ে সৰু বৃত্তটোৰ C বিন্দুত কাটিছে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে CP, ∠APB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
অংকনঃ সৰু বৃত্তটোৰ জ্যা CD অঁকা হ'ল। আৰু P ৰে যোৱাকৈ LM ৰেখা টনা হ'ল।
এতিয়া,
∠APL = ∠ABP ............... (i)
∠DPL = ∠DCP ............... (ii)
(i) আৰু (ii) ৰ পৰা
∠ABP = ∠DCP ............... (iii)
আকৌ, ∠ACD = ∠DPC ............... (iv)
( সৰু বৃত্তটোৰ একান্তৰ বৃত্তাংশস্থ কোণ )
আকৌ, ∆BPC ৰ পৰা
∠ACP = ∠PBC + ∠BPC
∠ACD + ∠DCP = ∠PBC + ∠BPC
∠ACD + ∠DCP = ∠ABP + ∠BPC
∠DCP = ∠BPC
প্ৰমাণিত হ'ল যে CP, ∠APB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
4. দুটা বৃত্তই A আৰু B বিন্দুত পৰস্পৰ কটাকটি কৰিছে। এডাল উমৈহতীয়া স্পৰ্শকে বৃত্তদুটাক C আৰু D বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। প্ৰমাণ কৰা যে ∠CAD + ∠CBD = 180॰।
উত্তৰঃ দুটা বৃত্তই পৰস্পৰ A আৰু B বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। উমৈহতীয়া স্পৰ্শক এডালে দুয়োটাকে C আৰু D বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∠CAD + ∠CBD = 180॰।
অংকনঃ AB সংযোগ কৰা হ'ল।
∠ACD = ∠ABC ............. (i)
∠ADC = ∠ABD ............. (ii)
এতিয়া, ∆ ACD ৰ পৰা
∠ACD + ∠ADC + ∠CAD = 180॰
∠ABC + ∠ABD + ∠CAD = 180॰
∠CBD + ∠CAD = 180॰
প্ৰমাণিত।
5. ∆ABC ৰ AB = AC। ত্ৰিভূজটোৰ পৰিবৃত্তৰ A বিন্দুত অঁকা স্পৰ্শকডাল BC ৰ সমান্তৰাল বুলি দেখুওৱা।
উত্তৰঃ ∆ABC ৰ AB = AC। ধৰো, A বিন্দুৰে যোৱা স্পৰ্শকডাল PQ। প্ৰমাণ কৰাব লাগে যে PQ∥BC।
∆ABC ৰ AB = AC
⇒∠ABC = ∠ACB .............. (i)
∠PAB = ∠ACB ............. (ii)
( বিপৰীত বৃত্তাংশৰ কোণ )
(i) আৰু (ii) ৰ পৰা
∠PAB = ∠ABC
∴ PQ∥BC
প্ৰমাণিত।
6. ABCD এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ আৰু A বিন্দুত অঁকা বৃত্তটোৰ স্পৰ্শকডাল BD ৰ সমান্তৰাল। প্ৰমাণ কৰা যে AC, ∠DCB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ ABCD চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ A বিন্দুত অঁকা বৃত্তটোৰ স্পৰ্শকডাল BD ৰ সমান্তৰাল। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে AC, ∠DCB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
অংকনঃ AC সংযোগ কৰা হ'ল।
∠BAQ = ∠ABD ........... (i)( ∵ PQ||BD )
∠BAQ = ∠ACB ........... (ii) ( একান্তৰ বৃত্তাংশস্থ কোণ )
∠DAP = ∠ACD ........... (iii)
আৰু ∠DAP = ∠ABD ........... (iv)
এতিয়া, (i), (ii), (iii) আৰু (iv) ৰ পৰা
∠ACD = ∠ACB
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে AC, ∠DCB ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
7. দুটা বৃত্তই বৰ্হিভাৱে A বিন্দুত পৰস্পৰ স্পৰ্শ কৰিছে। A ৰ মাজেৰে অঁকা দুডালৰেখাই বৃত্তদুটাক ক্ৰমে P, Q আৰু X, Y বিন্দুত ছেদ কৰিলে প্ৰমাণ কৰা যে PX আৰু QY পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ দুটা বৃত্তই বৰ্হিভাৱে A বিন্দুত পৰস্পৰ কটাকটি কৰে। A ৰ মাজেৰে যোৱা ৰেখাই বৃত্তদুটাক ক্ৰমে P, Q আৰু X, Y বিন্দুত ছেদ কৰিছে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে PX||QY।
অংকনঃ A বিন্দুৰ মাজেৰ LM ৰেখা অঁকা হ'ল।
এতিয়া,
∠PAL = ∠AXP ( AL এডাল স্পৰ্শক আৰু AP এডাল জ্যা )
∠MAQ = ∠AYQ ( AM এডাল স্পৰ্শক আৰু AQ এডাল জ্যা )
∠PAL = ∠MAQ
⇒ ∠AXP = ∠AYQ
⇒ ∠QXP = ∠PYQ ( ইহঁত একান্তৰ কোণ )
∴ PX||QY
8. দুটা বৃত্তই দুটা বিন্দু A আৰু B ত পৰস্পৰ ছেদ কৰিছে। এটা বৃত্তৰ পৰিধিৰ কোনো বিন্দু P ক A আৰু B ৰ সৈতে সংযোগ কৰি বঢ়াই দিয়াত আনটো বৃত্তক ক্ৰমে C আৰু D ত কাটে। প্ৰমাণ কৰা যে CD, P ত অঁকা স্পৰ্শক সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ দুটা বৃত্তই দুটা বিন্দু A আৰু B ত পৰস্পৰ ছেদ কৰিছে। এটা বৃত্তৰ পৰিধিৰ কোনো বিন্দু P ক A আৰু B ৰ সৈতে সংযোগ কৰি বঢ়াই দিয়াত আনটো বৃত্তক ক্ৰমে C আৰু D ত কাটে। প্ৰমাণ কৰা যে CD, P ত অঁকা স্পৰ্শকৰ সমান্তৰাল।
অংকনঃ CD সংযোগ কৰা হ'ল। আৰু P ৰ মাজেৰে যোৱাকৈ LM ৰেখা অঁকা হ'ল।
এতিয়া,
∠MPB = ∠PAB .......... (i)
∠PAB + ∠BAC = 180॰
আৰু ∠BAC + ∠BDC = 180॰ ( চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ বিপৰীত কোণ )
⇒ ∠BDC = ∠PAB
⇒∠BDC = ∠MPB [(i) ৰ পৰা ]
(ইহঁত একান্তৰ কোণ )
∴ LM || CD
9. কোনো বৃত্তৰ পৰিধিত A, Bআৰু C তিনিটা বিন্দু লোৱা হ'ল। A বিন্দুত বৃত্তটোৰ স্পৰ্শকৰ সমান্তৰালভাৱে আন এডাল ৰেখা অঁকাত ৰেখাডালে AB আৰু AC ক ক্ৰমে D আৰু E বিন্দুত ছেদ কৰিলে। প্ৰমাণ কৰা যে BCED এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ।
উত্তৰঃ কোনো বৃত্তৰ পৰিধিত A, B আৰু C তিনিটা বিন্দু। A বিন্দুত বৃত্তটোৰ স্পৰ্শকডালৰ সমান্তৰালভাৱে আন এডাল ৰেখা অঁকাত AB আৰু AC ৰ ক্ৰমে D আৰু E ত কাটে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে BCED এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ।
এতিয়া,
∠BAM = ∠ACB
∠DAM = ∠ADE
∴∠ACB = ∠ADE
⇒ ∠ECB = ∠ADE
⇒ ∠ECB + ∠EDB = ∠ADE + ∠BDE
⇒ ∠ECB + ∠EDB = 180॰
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে BCED এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ।
10. ABCD এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ আৰু A বিন্দুত PAQ বৃত্তটোৰ এডাল স্পৰ্শক। যদি ∠ADC = 185॰ আৰু ∠QAB = 120॰ তেন্তে ∠BDC নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABCD চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজৰ A বিন্দুত PAQ এডাল স্পৰ্শক। দিয়া আছে; ∠ADC = 185॰ আৰু ∠QAB = 120॰ তেন্তে ∠BDC = ?
অংকনঃ BD সংযোগ কৰা হ'ল।
এতিয়া,
∠QAB = ∠ADB = 120॰
আৰু ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC
⇒ 185॰ = 120 ॰ + ∠BDC
⇒ ∠BDC = 185॰ - 120॰
⇒ ∠BDC = 65॰
11. ABCD এটা চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ আৰু PQ, A বিন্দুত চতুৰ্ভূজটোৰ পৰিলিখিত বৃত্তটোৰ এডাল স্পৰ্শক। যদি BD বৃত্তটোৰ ব্যাস হয়, ∠ABD = 30॰ আৰু ∠BDC = 60॰ তেন্তে নিম্নোক্ত কোণসমূহৰ মাপ উলিওৱা 一
উত্তৰঃ ABCD চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ আৰু PQ, A বিন্দুত চতুৰ্ভূজটোৰ পৰিলিখিত বৃত্তটোৰ এডাল স্পৰ্শক। যদি BD বৃত্তটোৰ ব্যাস হয় আৰু ∠ABD = 30॰ আৰু ∠BDC = 60॰
এতিয়া,
(i) ∠QAD আৰু ∠ABD এডাল স্পৰ্শকৰ একান্তৰ বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠QAD = ∠ABD = 30॰
(ii) ∠BAD = 90॰ ( অৰ্ধবৃত্তাংশস্থ কোণ )
(iii) ∠PAB আৰু ∠BDC একান্তৰ বৃত্তাংশস্থ কোণ
∴ ∠PAD = ∠BDC = 60॰
(iv) ∠BCD
∵ ABCD চক্ৰীয় চতুৰ্ভূজ
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180॰
⇒ 90॰ + ∠BCD = 180॰
⇒ ∠BCD = 90॰
(v) ∠CBD
∆BCD ৰ
∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180॰
⇒ 90॰ + 60॰ + ∠CBD = 180॰
⇒ ∠CBD = 180॰ - 150॰
⇒ ∠CBD = 30॰
Post ID : DABP003368
