পাঠ ৪
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Quadratic Equation
Exercise 4.4
1. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
(i) 2x2 - 3x + 5 = 0
ইয়াত
a = 2, b = -3 আৰু c = 5
∴ b2 - 4ac
= (-3)2 - 4.2.5
= 9 - 40
= -31 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0
ইয়াত
a = 3, b = - 4√3 আৰু c = 4
∴ b2 - 4ac
= (-4√3)2 - 4.3.4
= 48 - 48
= 0
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
3x2 - 4√3x + 4 = 0
⇒ (√3x)2 - 2.√3x.2 + 22 = 0
⇒ (√3x - 2)2 = 0
⇒ √3x - 2 = 0
⇒ x = 2/√3
(iii) 2x2 - 6x + 3 = 0
ইয়াত a = 2, b = - 6 আৰু c = 3
∴ b2 - 4ac
= (-6)2 - 4.2.3
= 36 - 24
= 12 > 0
∴ ইয়াৰ দুটা স্পষ্ট ভিন্ন বাস্তৱ মূল আছে।
2x2 - 6x + 3x = 0
(iv) 9x2 - 6x + 1 = 0
ইয়াত,
a = 9, b = -6 আৰু c = 1
∴ b2 - 4ac
= (-6)2 - 4.9.1
= 36 - 36
= 0
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
∴ 9x2 - 6x + 1 = 0
⇒ (3x)2 - 2.3.1 + 12 = 0
⇒ (3x - 1)2 = 0
⇒ 3x - 1 = 0
⇒ x = 1/3
(v) 3x2 - 5x + 12 = 0
ইয়াত,
a = 3, b = -5 আৰু c = 12
∴ b2 - 4ac
= (-5)2 - 4.3.12
= 25 - 144
= - 119 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vi) x2 + x + 1 = 0
ইয়াত,
a = 1, b = 1 আৰু c = 1
∴ b2 - 4ac
= 12 - 4.1.1
= 1 - 4
= -3 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vii) x2 - 2√3x - 9 = 0
ইয়াত,
a = 1, b = -2√3 আৰু c = -9
∴ b2 - 4ac
= (-2√3)2 - 4.1.(-9)
= 12 + 36
= 48 > 0
∴ ইয়াৰ দুটা স্পষ্ট ভিন্ন মূল আছে।
x2 - 2√3x - 9 = 0
2. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত k ৰ মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ বাস্তৱ মূল থাকে।
(i) 2x2 + kx + 3 = 0
∵ সমীকৰণটোৰ দুটা সমান মূল আছে।
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ k2 - 4.2.3 = 0
⇒ k2 = 24
⇒ k = √24
⇒ k = 2√6 নাইবা k = -2√6
(ii) kx(x - 2) + 6 = 0
⇒kx2 - 2kx + 6 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ (-2k)2 - 4.k.6 = 0
⇒ 4k2 - 24k = 0
⇒ k2 - 6k = 0
⇒ k(k - 6) = 0
⇒ k = 0 নাইবা k - 6 = 0
⇒ k = 0 নাইবা k = 6
(iii) x2 - (k + 4)x + 2k + 5 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ (k + 4)2 - 4.1.(2k + 5) = 0
⇒ k2 + 16 + 8k - 8k - 20 = 0
⇒ k2 - 4 = 0
⇒ k2 = 4
⇒ k = 2 নাইবা k = -2
(iv) 2x2 + 8x - k3 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ 82 - 4.2.(-k)3 = 0
⇒ 64 - 8k3 = 0
⇒ 8k3 = 64
⇒ k3 = 8
⇒ k = 2
(v) (k - 3)x2 + 2(k - 1)x + 2 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ {2(k - 3)}2 - 4.(k - 3).2 = 0
⇒ 4(k2 + 9 - 6k) - 8k + 24 = 0
⇒ k2 + 9 - 6k - 2k + 6 = 0
⇒ k2 - 8k + 15 = 0
⇒ k2 - 5k - 3k + 15 = 0
⇒ k(k - 5) - 3(k - 5) = 0
⇒ (k - 5)(k - 3) = 0
⇒ k - 5 = 0 নাইবা k - 3 = 0
⇒ k = 5 নাইবা k = 3
(vi) (k - 12)x2 + 2(k - 12)x + 2 = 0
∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ {2(k - 12)}2 - 4.(k - 12).2 = 0
⇒ 4(k2 + 144 - 24k) - 8k + 96 = 0
⇒ k2 + 144 - 24k - 2k + 24 = 0
⇒ k2 - 26k + 168 = 0
⇒ k2 - 12k - 14k + 168 = 0
⇒ k(k - 12) - 14(k - 12) = 0
⇒ (k - 12)(k - 14) = 0
⇒ K - 12 = 0 নাইবা k - 14 = 0
⇒ k = 12 নাইবা k = 14
3. প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ'বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গমিটাৰ হয়? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো,
আয়তটোৰ প্ৰস্থ a
∴ আয়তটোৰ দীঘ 2a
প্ৰশ্নমতে, a.2a = 800
⇒ 2a2 = 800
⇒ a2 = 400
⇒ a = 20
∴ আয়তটোৰ প্ৰস্থ a = 20m
আৰু আয়তটোৰ দীঘ 2a = 2.20 = 40m
4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা।
দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল আছিল 48।
উত্তৰঃ ধৰো,
এজন বন্ধুৰ বয়স a
∴ আনজন বন্ধুৰ বয়স 20 - a
প্ৰশ্নমতে,
(a - 4)(20 - a - 4) = 48
⇒ (a - 4)(16 - a) = 48
⇒ 16a - a2 - 64 + 4a = 48
⇒ a2 - 20a + 64 + 48 = 0
⇒ a2 - 20a + 112 = 0
ইয়াত, a = 1, b = - 20 আৰু c = 112
∴ b2 - 4ac
= (-20)2 - 4.1.112
= 400 - 448
= - 48 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
∴ এই পৰিস্থিতিটো অসম্ভৱ।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বৰ্গমিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, চানেকিখনৰ দীঘ a
∴ চানেকিখনৰ প্ৰস্থ 400/a
প্ৰশ্নমতে,
2(a + 400/a) = 80
⇒ 2a + 800/a = 80
⇒ 2a2 + 800 - 80a = 0
⇒ a2 - 40a + 400 = 0
ইয়াত, a = 1, b = -40 আৰু c = 400
∴ b2 - 4ac
= (-40)2 - 4.1.400
= 1600 - 1600
= 0
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
এতিয়া,
a2 - 40a + 400 = 0
⇒ a2 - 2.a.20 + (20)2
⇒ (a - 20)2 = 0
⇒ a - 20 = 0
⇒ a = 20
