বৃত্ত
পাঠ ১০
অনুশীলনী 10.2
প্ৰশ্ন 1 ৰ পৰা 3 লৈ শুদ্ধ উত্তৰ বাছি উলিওৱা আৰু উপযুক্ত কাৰণ দেখুওৱাঃ
1. এটা বিন্দু Q ৰ পৰা এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকডালৰ দৈৰ্ঘ্য 24 চে.মি আৰু কেন্দ্ৰৰ পৰা Q ৰ দূৰত্ব 25 চে.মি বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ হ'ল
(A) 7 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 24.5 cm
2. চিত্ৰত যদি O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তৰ TP আৰু TQ দুডাল স্পৰ্শক, যাতে ∠POQ = 110°, তেন্তে ∠PTQ
(A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°
উত্তৰঃ ∵ বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু স্পৰ্শবিন্দু সংযোগী ব্যাসাৰ্ধডাল স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব
∴ ∠TPO = ∠TQO = 90°
এতিয়া OPTQ চতুৰ্ভূজৰ
∠POQ + ∠TPO + ∠TQO + ∠PTQ = 360°
⇒ 110° + 90° + 90° + ∠PTQ = 360°
⇒ ∠PTQ = 360° - 290°
⇒ ∠PTQ = 70°
3. যদি এটা বিন্দু P ৰ পৰা O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তৰ PA আৰু PB স্পৰ্শককেইডালে পৰস্পৰ 80° কোণত হালি থাকে, তেন্তে ∠POA
(A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80° ৰ সমান
উত্তৰঃ O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ PA আৰু PB দুডাল স্পৰ্শক। ∠APB = 80° ∴ ∠AOB = ?
অংকনঃ OP সংযোগ কৰা হ'ল।
এতিয়া, ΔOAP আৰু ΔOBP ৰ
OP = OP (সাধাৰণ বাহু)
OA = OB (ব্যাসাৰ্ধ)
PA = PB (স্পৰ্শক)
∴∆OAP ≅ ∆OBP (SSS)
∴ ∠OPA = ∠OPB = 40°
আকৌ, ∠OAP = 90°
এতিয়া, ∆OAP ৰ
∠OAP + ∠OPA + ∠AOP = 180°
⇒ 90° + 40° + ∠AOP = 180°
⇒ ∠AOP = 180° - 130°
⇒ ∠AOP = 50°
4. প্ৰমাণ কৰা যে বৃত্তৰ ব্যাসৰ মূৰত টনা স্পৰ্শকবোৰ সমান্তৰাল।
উত্তৰঃ
O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ AB আৰু CD স্পৰ্শকৰ স্পৰ্শবিন্দু ক্ৰমে E আৰু F প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে AB ॥ CD।
∠AEO = AEF = 90° (বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু স্পৰ্শবিন্দু সংযোগী ব্যাসাৰ্ধ স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব)
আৰু ∠OFD = ∠EFD = 90° (বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু স্পৰ্শবিন্দু সংযোগী ব্যাসাৰ্ধ স্পৰ্শকৰ ওপৰত লম্ব)
∵ ∠AEF = ∠EFD
∴ AB ॥ CD
H.P
5. প্ৰমাণ কৰা যে বৃত্তৰ স্পৰ্শকৰ স্পৰ্শবিন্দুত টনা লম্বডাল কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে যায়।
উত্তৰঃ
6. বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 5 চে.মি দূৰত্বত থকা এটা বিন্দু A ৰ পৰা স্পৰ্শক এডালৰ দৈৰ্ঘ্য 4 চে.মি.। বৃত্তটোৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ 5 চে.মি দূৰত্বত Q বিন্দুটো আছে আৰু ইয়াৰ পৰা টনা স্পৰ্শকে বৃত্তটোক P বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। PQ ৰ দৈৰ্ঘ্য 4 চে.মি.।
এতিয়া,
7. 5 চে.মি. আৰু 3 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ দুটা ঐক্যকেন্দ্ৰিক বৃত্ত আছে। ডাঙৰ বৃত্তৰ জ্যাডালে সৰু বৃত্তক স্পৰ্শ কৰে, জ্য়াডালৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
8. এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ABCD এটা চতুৰ্ভূজ অঁকা হ'ল। প্ৰমাণ কৰা যে AB + CD = AD + BC
উত্তৰঃ
এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ অঁকা ABCD চতুৰ্ভূজৰ AB, BC, CD আৰু AD বাহুৱে বৃত্তটোক ক্ৰমে P, Q, R আৰু S বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে।
AP = AS.......................(i)
BP = BQ........................(ii)
CR = CQ.........................(iii)
আৰু DR = DS..................(iv)
এতিয়া,
(i) + (ii) + (iii) + (iv)⇒ AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
H.P
9. চিত্ৰত, O কেন্দ্ৰযুক্ত বৃত্তৰ XY আৰু X'Y' দুডাল সমান্তৰাল স্পৰ্শক আৰু স্পৰ্শ বিন্দু C ত আন এডাল স্পৰ্শক AB য়ে XY ক A ত আৰু X'Y' ক B ত কাটে। প্ৰমাণ কৰা যে ∠AOB = 90°.
উত্তৰঃ
∆OAP আৰু ∆OAC ৰ
OP = OC (ব্যাসাৰ্দ্ধ)
OA = OA (সাধাৰ্ণ বাহু)
AP = AC (স্পৰ্শক)
∴ ∆OAP ≅ ∆OAC
⇒ ∠PAB = ∠OAC + ∠OAP
⇒ ∠PAB = 2∠OAC ..................(i)
একেদৰে, ∠QBA = 2∠OBC ...........(ii)
এতিয়া, ∠PAB + ∠QBA = 180°
⇒ 2∠OAC + 2∠OBC = 180°
⇒ 2(∠OAC + ∠OBC) = 180°
⇒ ∠OAC + ∠OBC = 90°
আকৌ, ∆AOB ৰ
∠OAC + ∠OBC + ∠AOB = 180°
⇒ 90° + ∠AOB = 180°
⇒ ∠AOB = 90°
H.P
10. প্ৰমাণ কৰা যে বৃত্তৰ এটা বহিঃ বিন্দুৰ পৰা টনা স্পৰ্শক দুডালৰ মাজৰ কোণটো স্পৰ্শবিন্দু দুটাসংযোগী ৰেখাখণ্ডৰদ্বাৰা কেন্দ্ৰত সন্মুখকৈ উৎপন্ন কৰা কোনটোৰ সম্পূৰক।
উত্তৰঃ
O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তৰ P এটা বহিঃবিন্দুৰ পৰা PQ আৰু PR দুডাল স্পৰ্শক অঁকা হ'ল। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∠QOR + ∠QPR = 180°
অংকনঃ OP সংযোগ কৰা হ'ল।
এতিয়া, ∆OPR ৰ
∠POR + ∠OPR + ∠ORP = 180°
⇒ ∠POR + ∠OPR + 90° = 180°
⇒ ∠POR + ∠OPR = 90°...............(i)
আকৌ, ∆OPQ ৰ
∠OPQ + ∠OQP + ∠POQ = 180°
⇒ ∠OPQ + ∠POQ + 90° = 180°
⇒ ∠POQ + ∠OPQ = 90°...............(ii)
(i) + (ii) ⇒ ∠POR + ∠OPR + ∠POQ + ∠OPQ = 90° + 90°
⇒ (∠POR + ∠POQ) + ∠(OPR + ∠OPQ) = 180°
⇒ ∠QOR + ∠QPR = 180°
H.P
11. প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰা সামান্তৰিকটো এটা ৰম্বাচ।
উত্তৰঃ O কেন্দ্ৰযুক্ত এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ABCD এটা সামান্তৰিক। AB, BC, CD আৰু AD বাহুৱে বৃত্তটোৰ ক্ৰমে P, Q, R আৰু S বিন্দুত স্পৰ্শ কৰিছে। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে AB = BC = CD = AD
এতিয়া, AP = AS...........(i)
BP = BQ.......................(ii)
CQ = CR......................(iii)
DR = DS......................(iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv)⇒ AP + BP + CR + DR = AS + BQ + CQ + DS
⇒ (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)
⇒ AB + CD = AD + BC
⇒ 2AB = 2BC
⇒ AB = BC
একেদৰে, 2CD = 2AD
⇒ CD = AD
∴ AB = BC = CD = AD
প্ৰমাণিত হ'ল যে ABCD এটা ৰম্বাচ।
12. 4 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰাকৈ ABC এটা ত্ৰিভূজ অঁকা হ'ল যাতে স্পৰ্শবিন্দু D ৰ দ্বাৰা বিভক্ত BC ৰ খণঅড BD আৰু DC ৰ দৈৰ্ঘ্য যথাক্ৰমে 8 চে.মি. আৰু 6 চে.মি.। AB আৰু AC বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
13. প্ৰমাণ কৰা যে এটা বৃত্তক স্পৰ্শ কৰি থকা এটা চতুৰ্ভুজৰ বিপৰীত বাহুবোৰে বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত সন্মুখকৈ সম্পূৰক কোণ কৰে।
উত্তৰঃ
Author By- Hiru Moni Bora
