অনুশীলনী-6.5 l Class 10 Maths Seba Assamese Medium

অনুশীলনী-6.5

1/ ত্ৰিভূজৰ কিছুমান বাহুৰ দীঘ তলত দিয়া হ’ল। ইয়াৰে কোন বিলাক সমকোণী ত্ৰিভূজ উলিওৱা। সমকোণী ত্ৰিভূজৰ ক্ষেত্ৰত অতিভূজ ডালৰ দীঘ লিখা ?

(i) 7cm, 24cm, 25cm (ii) 3cm, 8cm, 6cm

(iii) 50cm, 80cm, 100cm, (iv) 13cm, 12cm, 5cm

সমাধান:→ (i) ধৰা হ’ল- ABC ত্ৰিভূজ

AB=7cm, BC=24cm, AC=25cm

AB²= BC² = (7)²+ (24)² = 49+576=625

অতিভূজ দৈঘ্য় = 25cm

(ii) ধৰা হ’ল PQR ত্ৰিভূজ

PQ=3cm, QR=8cm, PR=6cm

PQ² + PR² = (3)² + (6)² = 9 + 36 = 45

OR² = (8)² = 64

∴ ∆ PQR সমকোণী ত্ৰিভূজ নহয়।

(iii) ধৰা হ’ল, MNP ত্ৰিভূজ

MN=50cm, NP=80cm, MP=100cm.

MN2 + NP2 = (50)2 + (80)2 = 8900

MP2 = (100)2 = 10000

∴∆ MNP সমকোণী ত্ৰিভূজ নহয়।

(iv) ধৰা হ’ল ABC ত্ৰিভূজ

AB=13cm, BC=12cm, AC=5cm

BC² + AC² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169

AB² = (13)² = 169

BC² + AC² = AB²

অতিভূজ AB=13 cm.

2/ PQR ত্ৰিভূজৰ P কোন সমকোণ আৰু QR ৰ ওপৰত M এটা বিন্দু। যদি PM⊥QR দেখুওৱা যে PM²= QM:MR

সমাধান:→ দিয়া আছে,- PQR ত্ৰিভূজ P কোন সমকোন আৰু QR ৰ ওপৰত M এটা বিন্দুযাতে PM⊥QR।

প্ৰমান:- ∆ PMPৰ পৰা পাওঁ-

PR²=PM²+MR^{2 _________________}(i)

∆ PMQৰ পৰা পাওঁ-

PQ²= PM²+ QM² ^{__________________}(ii)

সমীকৰণ (i) and (ii) যোগকৰি-

PR²+PQ²= PM²+MR²+PM²+QM²

ð => (QM+MR)2 = 2PM2 + MR2 + QM2

=> 2QM. MR=2PM2

=> QM.MR=PM2

∴ ∴ PM² = QM.MR

3/ 3/ চিত্ৰ 6.53 ত ABD এটা সমকেণী ত্ৰিভূজযাৰ A কোনটো সমকোন আৰু AC⊥BD। দেখুওৱা যে

(i) AB²= BC.BD

(ii) AC²= BC.DC

(iii) AD²=BD.CD

সমাধান:→ দিয়া আছে- ABD সমকোনী ত্ৰিভূজৰ A কোনটো সমকোন আৰু AC⊥BC ।

(i) AB2= BC∘ BD

(ii) AC2= BC∘ DC

(iii) AD2= BD∘ CD

প্ৰমান:→ (i) ∆ ABC আৰু ∆ DBAত আমি পাওঁ-

<ACD= <DAB

<ABC= < DBA

∆ ABC~ ∆ DBA

∴ AB2= BC∘BD

(ii) <BAD= 90°

<DAC+ <CAB= 90°

∆ ACDত আমি পাওঁ-

<ACD = <CAB+ <CBA

<CAB + < CAB = < ACD

<CAB + < CBA = 90°

(i) আৰু (ii) পৰা পাওঁ-

< DAC +<CAB = <CAB + <CBA

<CAB = <CBA

∆ DCA আৰু ∆ ACB ত আমি পাওঁ-

<DCA = <ACB

< DAC = <CBA

∴ ∆ DCA~ ∆ ACD

AC2 = BC∘ DC

(iii) ∆ ADC আৰু ∆ BDA আমি পাওঁ-

< ACD = <BAD

< ADC = <BDA

∴∆ ADC~ ∆ BDA

4/ ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ C কোন সমকোন। প্ৰমান কৰা যে AB²=2AC²

সমাধান:→ ABC সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ C কোন সমকোন।

AB² = 2AC²

প্ৰমান:- ∆ ACB ত আমি পাওঁ-

AC²+ BC²= AB²

=> AC²+ AC² = AB²

=> 2AC² = AB²

5/ ABC সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ AC=BC। যদি AB²=2AC² প্ৰমান কৰা যে ABCএটা সমকোনী ত্ৰিভূজ ।

সমাধান:- ABC সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ AC=BC আৰু AB² = 2AC²

ABC এটা সমকোনী ত্ৰিভূজ

প্ৰমান:- ইয়াত

AB²= 2AC²

ð AB²= AC² + AC²

ð AB²= BC²+ AC²

∴ < ACB = 90°

∴ ABC এটা সমকোমী ত্ৰিভূজ।

6/ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজ ABC ৰ বাহু দীঘ 2a। ইয়াৰ প্ৰতিটো উন্নতিৰ দীঘ উলিওৱা ?

সমাধান:→ সমবাহু ত্ৰিভূজ ABC ৰ দীঘ 2a

AB= AC =BC= 2a

ধৰা হ’ল BC, AC আৰু BA বাহু ওৰপত ক্ৰমে AD, BE আৰু CF তিনিডাল উন্নতি।

প্ৰমান:- ∆ ADB আৰু ∆ ADC ত আমি পাওঁ-

AB= AC

=> < ABD= <ACD

< ADB= < ADC

∴ ∆ ABD ≅ ∆ ADC

BD = DC

7/ প্ৰমান কৰা যে এটা ৰম্বাছ বাহু বিলাকৰ বৰ্গৰ যোগফল তাৰ কৰ্ণ দুডালৰ বৰ্গ যোগফল সমান।

সমাধান:- ধৰা হ’ল, ABCD ৰম্বাছৰ AC আৰু BD কৰ্ণই পৰস্পকৰ O বিন্দুত ছেদ কৰিছে।

প্ৰমান কৰিব- AB²+ BC²+ CD²+ DA²= AC²+ BD²

প্ৰমান:- ৰম্বাছৰ কৰ্ণদুডালৰ পৰস্পকৰ সম্বভাৱে সমদ্ধি

<AOB= <BOC =<COD= <AOD= 90°

∆ AOB ত আমি পাওঁ-

AB²= OA²+ OB²

একেদৰে, 4BC²= AC²+ BD²

4CD²= AC²+ BD²

4AD²= AC²+ BD²

(iii), (iv), (v) আৰু (vi) যোগকৰি পাওঁ-

4AB² + 4BC² +4CD² + 4AD² = AC²+ BD² + AC² +BD² + AC² + BC² + AC² + BC²

ð 4 (AB² + BC² + CD² + AD)² = 4 (AC²+ BD²)

∴ AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD²

^{8/ চিত্ৰ 6.54 ত ABC ত্ৰিভূজৰ O এটা অন্ত:স্থ বিন্দু আৰু CD⊥BC, OE⊥AC আৰু OF⊥AB দেখুওৱা যে}

(i) OA2 + OB2 + OC2 -OD2- OE2 -OF2 = AF2 + BD2 + CE2

(ii) AF2 + BD2 + CF2 = AE2 + CD2+ BF2

সমাধান:→ দিয়া আছে,- ABC ত্ৰিভূজৰ O এটা অন্তস্থ বিন্দু।

OD⊥BC, OE⊥AC আৰু OF⊥AB

অংকন:- OA, OB আৰু OC সংযোগী কৰা হল।

প্ৰমান:- (i) সমকোনী ∆ OFA ত আমি পাওঁ-

OA² = OF² + AF²

^{ODB ত আমি পাওঁ-
               OB² = OF² + AF²
               OEC ত আমি পাওঁ-
           OC ² = OE² + CE²
সমীকৰণ  (i), (ii) আৰু (iii) যোগকৰি
OA² + OB² + OC² = OF² + AF² + OD² + BD² + OE² + CE²
ð OA² + OB² + OC² - OD²^-OE² -OF² = AF² + BD² + CE²
(ii)  ODB ত আমি পাওঁ-
OB² = OD²+ BD² – (iii)
  ODC ত আমি পাওঁ-
       OC² = OD²+ CD² – (iv)
(iv) ৰ পৰা (v)  বিয়োগ কৰি-
(vi), (vii)  আৰু (viii) যোগকৰি-
OB² -OC² + OC² -OA² + OA² -OB² = BD² -CD² + CE² -AE² + AF² -BF²
ð  AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
9/ 10 মিটাৰ দীঘল জখলা এডাল ভূমিৰ পৰা 8 মিটাৰ ওপৰত থকা খিৰিকি এখন ঢুকি পায়। বেৰখন পৰা জখলাডালত গুৰুটোৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
সমাধান:- ধৰা হল A ভূমি পৰা B বিন্দুপৰা 8m ওপৰত থকা খিৰিকি আৰু AC হৈছে। Om দীঘল জখলা। ABC সমকোনী ত্ৰিভূজ।
নিৰ্ণয় কৰিব লাগে=> BC
নিৰ্ধাৰণ:-- ∆ ABC পৰা-
                 AC² = AB² + BC²
ð  (10)²= (8)²+ BC²
ð  100= 64 + BC²
ð  BC²= 36
                ð  BC= 6m
10/ 24 m দীঘল এডাল ভাৰ উত্তোলন কৰাজৰী। 8m ওখ উলম্ব খুটা এটাও বান্ধি থোৱা আছে আৰু আনটো মূৰত এটা গধূৰ বস্তৰ বান্ধি থোৱা আছে। খুটাটো গুৰিৰৰ পৰা তাঁৰডালে কিমান ওপৰলৈ গধূৰ বস্তটো দাঙি নিলে তাঁৰডাল টনটনীয় হ’ব?
সমাধান:→ ধৰা হ’ল, খুটা উচ্চতা AB আৰু তা ডাল দৈঘ্য় BC , AB=18m, AC=24m
নিৰ্ধাৰণ:- ∆ ABC  পৰা পাওঁ-}

11/ এখন উৰাজাহাজ এয়াৰ পট পৰা উৰামাৰিলে আৰু ঘন্টাত 1000 km দ্ৰুতিত উত্তৰ দিশে গতি কৰিলে। একেসময়ত আন এখন উৰাজাহাজ একেটা এয়াৰ পঁটৰ পৰ পশ্চিম দিশে ঘন্টাত 1200 km দ্ৰুতিত উৰা মাৰিলে।ঘন্টাৰ পিছত দুয়োখন উৰা জাহাজ মাজত দূৰত্ব কিমান হ’ব?