পাঠ ১
বাস্তৱ সংখ্যা
Real Number
Exercise 1.3
1. দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয়।
উত্তৰঃ
ধৰো, √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা
∴ √5 = p/q আৰু p আৰু q সহমৌলিক।
(√5)2 = (p/q)2
⇒ 5 = p2/q2
⇒ p2 = 5q2 .............(i)
∴ p2 5 ৰে বিভাজ্য। ∴ p য়ো 5 ৰে বিভাজ্য
এতিয়া p = 5r বুলি ধৰিলে (i) ত p ৰ মান বহুৱাই
⇒ (5r)2 = 5 x q2
⇒ 25r2 = 5q2
⇒ 5r2 = q2
এতিয়া, q, 5 ৰে বিভাজ্য ∴ q ও 5 ৰে বিভাজ্য।
দেখিলো যে, p আৰু q ৰ 5 সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে।
∴ p আৰু q সহমৌলিক বুলি ধৰাটো ভুল বুলি প্ৰমাণিত হল।
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা।
2. দেখুওৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
উত্তৰঃ
3 + 2√5 পৰিমেয় বুলি ধৰিলে p আৰু q দুটা সহমৌলিক পাব পাৰোঁ যাতে
3 + 2√5 = p/q
⇒ 2√5 = p/q - 3
⇒ 2√5 = p - 3q/q
⇒ √5 = (p - 3q)/2q
∵ p আৰু q অখণ্ড সংখ্যা।
∴ (p - 3q)/2q ও অখণ্ড সংখ্যা।
কিন্তু ইয়ে √5 অপৰিমেয় এই সত্যৰ বিৰোধিতা কৰে।
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
3. দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয়।
(i) 1/√2
ধৰো,
1/√2 পৰিমেয় ইয়াত p আৰু q দুটা সহমৌলিক পাম যাতে
1/√2 = p/q
⇒ √2 = q/p
∴ √2 পৰিমেয় ইয়ে √2 অপৰিমেয়ৰ বিৰোধিতা কৰে।
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে 1/√2 অপৰিমেয়।
(ii) 7√5
ধৰো,
7√5 পৰিমেয় ইয়াত p আৰু q দুটা সহমৌলিক পাম যাতে
7√5 = p/q
⇒ √5 = p/7q
ইয়াত p/7q পৰিমেয়।
ইয়ে √5 অপৰিমেয়ৰ বিৰোধিতা কৰে।
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে 7√5 অপৰিমেয়।
(iii) 6 + √2
ধৰো, 6 + √2 পৰিমেয় ইয়াত pআৰু q দুটা সহমৌলিক পাম যাতে
6 + √2 = p/q
⇒ √2 = p/q - 6
⇒ √2 = (p - 6q)/q
ইয়াত (p - 6q)/q পৰিমেয়। ইয়ে √2 অপৰিমেয়ৰ বিৰোধিতা কৰে।
∴ প্ৰমাণিত হ'ল যে 6 + √2 অপৰিমেয়।
Post Id:DABP002481
