পাঠ ৩
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
Pair of Linear Equation in two Variables
Exercise 3.5
1. তলৰ কোনকেইটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সমাধান নাই, নাইবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে? যদি অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সেই ক্ষেত্ৰত বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সমাধা কৰা।
(i) x - 3y - 3 = 0
3x - 9y - 2 = 0
a1/a2 = 1/3 আৰু b1/b2 = -1/-3 = 1/3 আৰু c1/c2 = -3/-2 = 3/2
ইয়াত a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
∴ ইয়াৰ কোনো সমাধান নাই।
(ii) 2x + y = 5
⇒ 2x + y - 5 = 0
3x + 2y = 8
⇒ 3x + 2y - 8 = 0
a1/a2 = 2/3 আৰু b1/b2 = 1/2 আৰু c1/c2 = -5/-8 = 5/8
ইয়াত a1/a2 ≠ b1/b2 ≠ c1/c2
∴ ইয়াৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
(iii) 3x - 5y = 20
⇒ 3x - 5y - 20 = 0
6x - 10y = 40
⇒ 6x - 10y - 40 = 0
a1/a2 = 3/6 = 1/2আৰু b1/b2 = -5/-10 = 1/2 আৰু c1/c2 = -20/-40 = 1/2
ইয়াত a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
∴ ইয়াৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
(iv) x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 =0
a1/a2 = 1/3 আৰু b1/b2 = 3/3 = 1 আৰু c1/c2 = -7/-15 = 7/15
ইয়াত a1/a2 ≠ b1/b2 ≠ c1/c2
∴ ইয়াৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
(v) 2x + 3y = 6
⇒ 2x + 3y - 6 = 0
4x + 6y = 12
⇒ 4x + 6y - 12 =0
a1/a2 = 2/4 = 1/2 আৰু b1/b2 = 3/6 = 1/2 আৰু c1/c2 = -6/-12 = 1/2
ইয়াত a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
∴ অসীম সংখ্যাক সমাধান আছে।
(vi) x - 2y = 6
⇒ x - 2y - 6 = 0
3x - 6y = 0
⇒ 3x - 6y - 0 = 0
a1/a2 = 1/3 আৰু b1/b2 = -2/-6 = 1/3 আৰু c1/c2 = -6/0 = 0
ইয়াত a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
∴ ইয়াৰ কোনো সমাধান নাই।
(viii) 2x + y - 15 = 0
3x - y - 5 = 0
a1/a2 = 2/3 আৰু b1/b2 = 1/-1 = -1 আৰু c1/c2 = -15/-5 = 3
ইয়াত a1/a2 ≠ b1/b2 ≠ c1/c2
∴ ইয়াৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
2. (i) a আৰু b ৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
2x + 3y = 7
(a-b)x + (a+b)y = 3a + b - 2
উত্তৰঃ
∵ সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
(ii) k ৰ কি মানৰ বাবে ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই?
3x + y = 1
(2k - 1)x + (k - 1)y = 2k + 1
উত্তৰঃ ∵ সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই,
∴ k ৰ মান 2 ৰ বাবে সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকিব।
(iii) p ৰ কি মানৰ বাবে px - y = 2, 6x - 2y = 3 সমীকৰণযোৰৰ একমাত্ৰ সমাধান থাকিব?
উত্তৰঃ
∵ সমীকৰণযোৰৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকে
(iv) k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে।
(3k + 1)x + 3y - 2 = 0, (k2 + 1)x + (k - 2)y - 5 = 0
∵ সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে,
(v) m ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে।
mx + 4y = m - 4
16x + my = m
উত্তৰঃ ∵ সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে
3. প্ৰতিষ্ঠাপন আৰু বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ সমাধান উলিওৱাঃ
(i) 8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
উত্তৰঃ
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
(ii) 4x - 3y = 23
3x + 4y = 11
উত্তৰঃ
4x - 3y = 23
3x + 4y = 11
(iii) 2x + 3y - 11 = 0
4x - 3y + 5 = 0
উত্তৰঃ
প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি অনুসৰি
2x + 3y - 11 = 0
(iv) 5x + 7y = 19
3x + 2y = 7
উত্তৰঃ
5x + 7y = 19
⇒ 5x = 19 - 7y
4. তলৰ সমস্যাবোৰক লৈ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু যিকোনো বিজীয় পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা (যদি বৰ্তে)।
(i) কোনো ছাত্ৰাবাসৰ মাহেকীয়া মাচুলৰ এটা অংশ নিৰ্দিষ্ট আৰু বাকীখিনি এজনে মেচত কিমান দিন খাদ্য গ্ৰহণ কৰিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যেতিয়া এজন ছাত্ৰই A ই 20 দিন খাদ্য খায় তেন্তে তেওঁ ছাত্ৰাবাসৰ মাচুল দিব লাগে 1000 টকা। আকৌ এজন ছাত্ৰ B য়ে যদি 26 দিন খাদ্য খায় তেওঁ মাচুল দিব লাগে 1180 টকা। নিৰ্দিষ্ট মাচুল আৰু প্ৰতিদিনৰ খাদ্যৰ দাম কি উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, নিৰ্দিষ্ট মাচুলৰ অংশ x
আৰু প্ৰতিদিনৰ মাচুল y
∴ x + 20y = 1000 .......(i)
আৰু x + 26y = 1180 .......(ii)
এতিয়া,
(ii) - (i) ⇒ 6y = 180
⇒ y = 30
(i)⇒ x + 20y = 1000
⇒ x + 20.30 = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 400
∴ নিৰ্দিষ্ট মাচুলৰ অংশ (x) = 400 টকা
আৰু প্ৰতিদিনৰ মাচুল (y) = 30 টকা।
(ii) কোনো ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে ই হয়গৈ 1/3; আৰু ইয়াৰ হৰৰ লগত 8 যোগ কৰিলে হয়গৈ 1/4। ভগ্নাংশটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰো, ভগ্নাংশটো x/y
প্ৰশ্নমতে, (x-1)/y = 1/3
⇒ 3x - 3 = y
⇒ 3x - y = 3 ........(i)
আৰু x/(y+8) = 1/4
⇒ 4x = y + 8
⇒ 4x - y =8 ........(ii)
এতিয়া,
(ii) - (i)⇒ x = 5
(i)⇒ 3x - y = 3
⇒ 3.5 - y = 3
⇒ - y = 3 - 15
⇒ y = 12
∴ ভগ্নাংশটো হৈছে x/y = 5/12
(iii) এটা পৰীক্ষাত যশোদাই লাভ কৰে 40 নম্বৰ, য'ত তেওঁ প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে পায় 3 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে হেৰুৱায় 1 নম্বৰ। যদি যদি প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 4 নম্বৰ দিলেহেতেন আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 2 নম্বৰ কাটিলেহেতেন, তেন্তে যশোদাই 50 নম্বৰ লাভ কৰিলেহেতেন। পৰীক্ষাটোত কিমানটা প্ৰশ্ন আছিল?
উত্তৰঃ
ধৰো, শুদ্ধ হোৱা প্ৰশ্ন-উত্তৰৰ সংখ্যা x
আৰু অশুদ্ধ হোৱা প্ৰশ্ন-উত্তৰৰ সংখ্যা y
∴ 3x + y = 40 ....... (i)
4x + 2y = 50 ....... (ii)
(i)x2⇒ 6x + 2y = 80
(ii)x1⇒ 4x + 2y = 50
__________________
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15
(i)⇒ 3x + y = 50
⇒ 3.15 + y = 50
⇒ y = 50 - 45
⇒ y = 5
∴ পৰীক্ষাটোত থকা মুঠ প্ৰশ্নৰ সংখ্যা
= x + y
= 15 + 5 = 20 টা
(iv) ঘাইপথ এটাৰ ওপৰত দুখন ঠাই A আৰু B ৰ দূৰত্ব 100 কি.মি.; এখন গাড়ী A ৰ পৰা আৰু একে সময়তে এখন গাড়ী B ৰ পৰা ৰাওনা হয়। যদি গাড়ী দুখনে একে দিশলৈ বেলেগ বেলেগ দ্ৰুতিৰে যাত্ৰা কৰে, তেন্তে ইহঁত 5 ঘণ্টাৰ পিছত লগ হয়। যদি সিহঁতৰ এখনে আনখনৰ দিশলৈ যাত্ৰা কৰে, তেন্তে সিহঁত 1 ঘণ্টা পিছত লগ হয়। গাড়ী দুখনৰ প্ৰত্যেকৰে দ্ৰুতি কিমান?
উত্তৰঃ
(v) এটা আয়তৰ যদি দৈৰ্ঘ্যক 5 একক হ্ৰাস আৰু প্ৰস্থক 3 একক বৃদ্ধি কৰা হয়, তেন্তে ইয়াৰ কালি 9 বৰ্গ একক হ্ৰাস হয়। যদি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যক 3 একক আৰু প্ৰস্থক 2 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তন্তে কালি 67 বৰ্গ একক বৃদ্ধি পায়। আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰো, আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ্য x
আৰু প্ৰস্থ y
প্ৰশ্নমতে, (x - 5)(y + 3) = xy - 9cm2
⇒ xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9
⇒ 3x - 5y = 6 ...........(i)
আকৌ, (x + 3)(y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 61 ...........(ii)
(i)×2⇒ 6x - 10y = 12
(ii)×3⇒ 6x + 9y = 183
___________________
(-), -19y = - 171
⇒ y = 9
(i) 3x - 5y = 6
⇒ 3x - 5.9 = 6
⇒ 3x = 6 + 45
⇒ x = 51/3
⇒ x = 17
∴ আয়তটোৰ দৈৰ্ঘ্য (x) = 17 একক
আৰু আয়তটোৰ প্ৰস্থ (y) = 9 একক
Post ID :DABP003681
