Chapter 7
ఘనములు ఘనమూలాలు
1. 1729 సంఖ్యను రెండు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తం రూపంలో వ్రాయండి.
Answer: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. ఇది హార్డీ–రామానుజన్ సంఖ్య అని తెలుసుకోవచ్చు.
2. 4104ను రెండు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తం రూపంలో వ్రాయండి.
Answer: 4104 = 2³ + 16³ = 9³ + 15³. ఇది కూడా హార్డీ–రామానుజన్ సంఖ్య.
3. 13832ను రెండు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తంగా వ్యక్తపరచండి.
Answer: 13832 = 18³ + 20³ = 2³ + 24³.
4. 27 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం తెలుసుకోండి.
Answer: 27 = 3³ → root(27,3) = 3.
5. 125 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా?
Answer: 125 = 5³ → root(125,3) = 5.
6. 216 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 216 = 6³ → root(216,3) = 6.
7. 343 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం తెలుసుకోండి.
Answer: 343 = 7³ → root(343,3) = 7.
8. 512 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 512 = 8³ → root(512,3) = 8.
9. 729 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం తెలుసుకోండి.
Answer: 729 = 9³ → root(729,3) = 9.
10. 1000 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా? దాని ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 1000 = 10³ → root(1000,3) = 10.
11. 8000 సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 8000 = 2⁶ × 5³ → root(8000,3) = 2² × 5 = 20.
12. 13824 సంఖ్య యొక్క ఘనమూలం ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతిలో కనుగొనండి.
Answer: 13824 = 2¹¹ × 3³ → root(13824,3) = 2³ × 3 = 24.
13. 857375 సంఖ్య యొక్క ఘనమూలాన్ని అంచనా విధానంలో కనుగొనండి.
Answer: 857375 → రెండు సమూహాలు: 857 | 375 → root(857375,3) ≈ 95.
14. 17576 యొక్క ఘనమూలాన్ని అంచనా విధానంలో కనుగొనండి.
Answer: 17576 → 17 | 576 → root(17576,3) = 26.
15. 3375 యొక్క ఘనమూలాన్ని ప్రధాన కారణాంక పద్ధతిలో కనుగొనండి.
Answer: 3375 = 3³ × 5³ → root(3375,3) = 3 × 5 = 15.
16. 74088 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 74088 = 2³ × 3³ × 7³ → root(74088,3) = 2 × 3 × 7 = 42.
17. పరిపూర్ణ ఘనం కావడానికి ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో ప్రతి సంఖ్య మూడు సార్లు ఉన్నదా?
Answer: అవును, ప్రతి ప్రధాన కారణాంకం 3 సార్లు ఉన్నా, అది పరిపూర్ణ ఘనం అవుతుంది.
18. 392 పరిపూర్ణ ఘనమా? కావాలంటే ఏ సంఖ్యతో గుణించాలి?
Answer: 392 = 2³ × 7² → 7 × 392 = 2744 → పరిపూర్ణ ఘనం అవుతుంది.
19. 53240 పరిపూర్ణ ఘనమా?
Answer: 53240 = 2³ × 5 × 11⁴ → 5 × 53240 = 266200 → పరిపూర్ణ ఘనం అవుతుంది.
20. 1188 పరిపూర్ణ ఘనమా?
Answer: 1188 = 2² × 3³ × 11 → 44 × 1188 = 52272 → పరిపూర్ణ ఘనం.
21. 68600 పరిపూర్ణ ఘనమా?
Answer: 68600 = 2³ × 5² × 7³ → 5 × 68600 = 343000 → పరిపూర్ణ ఘనం.
22. 500 సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనమా?
Answer: 500 = 2² × 5³ → 2 × 500 = 1000 → పరిపూర్ణ ఘనం.
23. 243 పరిపూర్ణ ఘనం? ఎందుకు కాదు?
Answer: 243 = 3⁵ → 3³ × 3² → మిగిలిన 3² → పరిపూర్ణ ఘనం కాదు.
24. 10648 యొక్క ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 10648 = 22³ → root(10648,3) = 22.
25. 27000 యొక్క ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 27000 = 30³ → root(27000,3) = 30.
26. 91125 యొక్క ఘనమూలం కనుగొనండి.
Answer: 91125 = 3³ × 5³ × 7² → 7 × 91125 = 637875 → root(637875,3) = 3 × 5 × 7 = 105.
27. 15625 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 15625 = 5⁶ → 25³ → root(15625,3) = 25.
28. 46656 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 46656 = 6⁶ × 6³ → root(46656,3) = 36.
29. 110592 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 110592 = 2¹² × 3³ → root(110592,3) = 2⁴ × 3 = 48.
30. 175616 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 175616 = 56³ → root(175616,3) = 56.
31. 512 సంఖ్య యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 512 = 2⁹ → 2³ = 8 → root(512,3) = 8.
32. 64 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 64 = 4³ → root(64,3) = 4.
33. 1000 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 1000 = 10³ → root(1000,3) = 10.
34. 1331 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 1331 = 11³ → root(1331,3) = 11.
35. 4913 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 4913 = 17³ → root(4913,3) = 17.
36. 12167 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 12167 = 23³ → root(12167,3) = 23.
37. 32768 యొక్క ఘనమూలం.
Answer: 32768 = 32³ → root(32768,3) = 32.
38. ఒక బేసి సంఖ్య యొక్క ఘనం సరి సంఖ్య అవుతుందా?
Answer: సత్యం కాదు. ఉదాహరణ: 3³ = 27 (సరి) కాదు.
39. ఒక సంఖ్య చివరి రెండు అంకెలు 5 తో ముగియితే దాని ఘనం 25 తో ముగుస్తుందా?
Answer: సత్యం. ఉదాహరణ: 5³ = 125 → చివరి రెండు అంకెలు 25.
40. రెండంకెల సంఖ్య యొక్క ఘనం మూడు అంకెలు కావచ్చు లేదా ఎక్కువ అంకెలు కావచ్చు?
Answer: అవును. ఉదాహరణ: 10² = 100 → మూడు అంకెలు, 20³ = 8000 → నాలుగు అంకెలు.
Answer by Mrinmoee
